Assinale verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique cada escolha (utilize a outra página para uma melho organização):
Se \mathcal{N}(A) é gerado pelos vetores v_{1}, v_{2}, v_{3} então a imagem do operador
A: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{5}
tem dimensão 2.
Passo 1
O enunciado pede que eu assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F) para a afirmação: "Se \mathcal{N}(A) é gerado pelos vetores v_{1},v_{2},v_{3} então a imagem do operador
A:\mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{5}
tem dimensão 2." Informação dada:
A é um operador linear de \mathbb{R}^{5} em \mathbb{R}^{5}.
\mathcal{N}(A) (o núcleo/anel) é gerado pelos vetores v_{1},v_{2},v_{3}, isto é,
significa que todo vetor de \mathcal{N}(A) é combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3}. A observação importante: o fato de um subespaço ser gerado por três vetores implica apenas que
\dim\mathcal{N}(A)\le 3,
porque a dimensão do span de k vetores é no máximo k. Em particular, os vetores v_{1},v_{2},v_{3} podem ser linearmente dependentes, então \dim\mathcal{N}(A) pode ser 1, 2 ou 3.
Passo 3
Apresentar a relação fundamental (teorema da dimensão / posto-nulidade). Para qualquer operador linear A:\mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{5} vale
\dim\mathcal{N}(A)+\dim\operatorname{Im}(A)=5.
Aqui:
\dim\mathcal{N}(A) é a nulidade (número de graus de liberdade do núcleo).
\dim\operatorname{Im}(A) é o posto (rank), a dimensão da imagem.
Passo 4
Usar as desigualdades e a fórmula para vincular nulidade e posto. Como \dim\mathcal{N}(A)\le 3, da fórmula obtemos
Logo só se pode afirmar com certeza que \dim\operatorname{Im}(A)\ge 2. Para garantir \dim\operatorname{Im}(A)=2 seria necessário ter \dim\mathcal{N}(A)=3. Mas a hipótese "é gerado por v_{1},v_{2},v_{3}" não garante que \dim\mathcal{N}(A)=3 (porque esses vetores podem ser dependentes). Portanto a afirmação do enunciado não é necessariamente verdadeira em todos os casos.
Passo 5
Construir um contraexemplo concreto (mostra que a afirmação é falsa). Tome os vetores v_{1}=v_{2}=v_{3}=e_{1}, onde e_{1}=(1,0,0,0,0). Então
logo \mathcal{N}(A)=\operatorname{span}\{e_{1}\} tem dimensão 1 e
\dim\operatorname{Im}(A)=4\neq 2.
Isto mostra que a hipótese do enunciado pode ocorrer (núcleo gerado por três vetores dependentes) e ainda assim a imagem não ter dimensão 2. Portanto a afirmação é falsa.]
Passo 6
Comentário final didático e encorajador: a conclusão só seria garantida se a geração por três vetores implicasse independência linear, isto é, se fosse dada a informação extra “os vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes” (ou seja, formam uma base de \mathcal{N}(A)). Nesse caso \dim\mathcal{N}(A)=3 e pela relação de posto-nulidade teríamos \dim\operatorname{Im}(A)=2. Como essa independência não foi afirmada, não se pode concluir que a dimensão da imagem seja 2.