Assinale verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique cada escolha (utilize a outra página para uma melho organização):
Se A: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n} é sobrejetiva então
\operatorname{dim} \mathcal{N}(A)=m-n

Passo 1

O enunciado dá a aplicação A: \mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{n} e afirma que A é sobrejetiva. A questão pede para assinalar se a seguinte igualdade é verdadeira ou falsa:
\dim \mathcal{N}(A)=m-n.
Informações relevantes dadas:
  • Foi dado que A é sobrejetiva (ou seja, atinge todo \mathbb{R}^{n}).
  • Está implícito que A é uma aplicação linear entre espaços vetoriais reais (notação padrão).
    O que se pede: decidir se a igualdade acima vale e justificar a escolha.

Passo 2

Definições e conceitos fundamentais (devem ficar claros antes de usar qualquer teorema).
  • O núcleo (ou nulidade) de A é
\mathcal{N}(A)=\{x\in\mathbb{R}^{m}\mid A x=0\}.
  • a imagem de A é
\operatorname{Im}(A)=\{A x\mid x\in\mathbb{R}^{m}\}\subseteq\mathbb{R}^{n}.
  • O posto (rank) de A é \operatorname{rank}(A)=\dim\operatorname{Im}(A).
  • A nulidade (nullity) de A é \dim\mathcal{N}(A).
    Estas definições são padrões e serão usadas em seguida.

Passo 3

Apresento o teorema chave que resolve a questão: o Teorema do posto e nulidade (rank–nullity).
Ele afirma que, para qualquer aplicação linear A:\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{n},
\dim\mathcal{N}(A)+\dim\operatorname{Im}(A)=m.
Vou provar esse teorema de forma direta e elementar (é a ferramenta que nos dá a igualdade pedida).

Passo 4

Prova do Teorema do posto e nulidade (passo a passo, usando bases).
  1. Seja k=\dim\mathcal{N}(A). Então existem vetores u_{1},\dots,u_{k} que formam uma base de \mathcal{N}(A).
  2. Como \{u_{1},\dots,u_{k}\} é um conjunto linearmente independente em \mathbb{R}^{m}, podemos estendê-lo a uma base de \mathbb{R}^{m}. Ou seja, existem vetores u_{k+1},\dots,u_{m} tais que
\mathcal{B}=\{u_{1},\dots,u_{k},u_{k+1},\dots,u_{m}\}
é uma base de \mathbb{R}^{m}. Assim qualquer x\in\mathbb{R}^{m} pode ser escrito unicamente como combinação linear desses m vetores.
3) Considere os vetores A(u_{k+1}),\dots,A(u_{m}) em \mathbb{R}^{n}. Vou mostrar que eles formam uma base de \operatorname{Im}(A).
  • Primeiro, mostram-se que geram \operatorname{Im}(A). Seja y\in\operatorname{Im}(A). Então existe x\in\mathbb{R}^{m} com y=A x. Escrevendo x na base \mathcal{B},
x=\sum_{i=1}^{k}\alpha_{i}u_{i}+\sum_{i=k+1}^{m}\alpha_{i}u_{i}.
Aplicando A,
y=A x=\sum_{i=1}^{k}\alpha_{i}A(u_{i})+\sum_{i=k+1}^{m}\alpha_{i}A(u_{i}).
Mas A(u_{i})=0 para i=1,\dots,k porque esses u_{i} estão no núcleo. Logo
y=\sum_{i=k+1}^{m}\alpha_{i}A(u_{i}),
o que mostra que A(u_{k+1}),\dots,A(u_{m}) geram \operatorname{Im}(A).
  • Agora, mostram-se que são linearmente independentes. Suponha que existam escalares \beta_{k+1},\dots,\beta_{m} tais que
\sum_{i=k+1}^{m}\beta_{i}A(u_{i})=0.
Pela linearidade isso é A\!\left(\sum_{i=k+1}^{m}\beta_{i}u_{i}\right)=0, então v:=\sum_{i=k+1}^{m}\beta_{i}u_{i}\in\mathcal{N}(A). Como v pertence ao núcleo, ele é combinação linear dos u_{1},\dots,u_{k}. Mas a única forma de escrever o mesmo vetor v na base \mathcal{B} é com todos os coeficientes correspondentes a u_{k+1},\dots,u_{m} iguais a zero (porque a expansão numa base é única). Portanto \beta_{k+1}=\cdots=\beta_{m}=0. Logo os A(u_{k+1}),\dots,A(u_{m}) são linearmente independentes.
4) Concluímos que A(u_{k+1}),\dots,A(u_{m}) é uma base de \operatorname{Im}(A). Assim
\dim\operatorname{Im}(A)=m-k.
Rearranjando,
k+\dim\operatorname{Im}(A)=m,
ou seja
\dim\mathcal{N}(A)+\dim\operatorname{Im}(A)=m,
que era o que queríamos provar.

Passo 5

Aplicação imediata ao caso sobrejetivo. Se A é sobrejetiva então \operatorname{Im}(A)=\mathbb{R}^{n}, portanto
\dim\operatorname{Im}(A)=\dim\mathbb{R}^{n}=n.
Usando o teorema do passo anterior,
\dim\mathcal{N}(A)+n=m,
logo
\dim\mathcal{N}(A)=m-n.
Portanto a igualdade do enunciado é verdadeira, sob a hipótese de que A é uma aplicação linear.

Passo 6

Observações adicionais úteis na prova:
  • A conclusão também mostra que, se A é sobrejetiva, necessariamente m\ge n (pois \dim\mathcal{N}(A)\ge0 implica m-n\ge0).
  • Exemplo concreto para fixar a ideia: tome m=3, n=2 e a matriz
A=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\end{pmatrix},
que envia (x_{1},x_{2},x_{3}) em (x_{1},x_{2}). Aqui A é sobrejetiva em \mathbb{R}^{2}, a imagem tem dimensão 2, e o núcleo é \{(0,0,x_{3})\} com dimensão 1. De fato 1=3-2, conferindo a fórmula.]

Passo 7

Conclusão final e incentivo: a afirmação é verdadeira (quando A é linear). O ponto-chave foi o Teorema posto–nulidade; se estiver em dúvida, memorizá-lo e praticar a prova por extensão de base ajuda muito na hora da prova — você já sabe aplicar ele como aqui. Vai dar certo, respira e partiu praticar mais exercícios!

Resposta

V

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