Assinale verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique cada escolha (utilize a outra página para uma melho organização):
Se
é sobrejetiva então
Se
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
e afirma que
é sobrejetiva. A questão pede para assinalar se a seguinte igualdade é verdadeira ou falsa:
Informações relevantes dadas:
- Foi dado que
é sobrejetiva (ou seja, atinge todo ). - Está implícito que
é uma aplicação linear entre espaços vetoriais reais (notação padrão).
O que se pede: decidir se a igualdade acima vale e justificar a escolha.
Passo 2
Definições e conceitos fundamentais (devem ficar claros antes de usar qualquer teorema).
- O núcleo (ou nulidade) de
é
- a imagem de
é
- O posto (rank) de
é . - A nulidade (nullity) de
é .
Estas definições são padrões e serão usadas em seguida.
Passo 3
Apresento o teorema chave que resolve a questão: o Teorema do posto e nulidade (rank–nullity).
Ele afirma que, para qualquer aplicação linear ,
Ele afirma que, para qualquer aplicação linear
Vou provar esse teorema de forma direta e elementar (é a ferramenta que nos dá a igualdade pedida).
Passo 4
Prova do Teorema do posto e nulidade (passo a passo, usando bases).
- Seja
. Então existem vetores que formam uma base de . - Como
é um conjunto linearmente independente em , podemos estendê-lo a uma base de . Ou seja, existem vetores tais que
é uma base de
. Assim qualquer
pode ser escrito unicamente como combinação linear desses
vetores.
3) Considere os vetores em
. Vou mostrar que eles formam uma base de
.
3) Considere os vetores
- Primeiro, mostram-se que geram
. Seja . Então existe com . Escrevendo na base ,
Aplicando
,
Mas
para
porque esses
estão no núcleo. Logo
o que mostra que
geram
.
- Agora, mostram-se que são linearmente independentes. Suponha que existam escalares
tais que
Pela linearidade isso é
, então
. Como
pertence ao núcleo, ele é combinação linear dos
. Mas a única forma de escrever o mesmo vetor
na base
é com todos os coeficientes correspondentes a
iguais a zero (porque a expansão numa base é única). Portanto
. Logo os
são linearmente independentes.
4) Concluímos que é uma base de
. Assim
4) Concluímos que
Rearranjando,
ou seja
que era o que queríamos provar.
Passo 5
Aplicação imediata ao caso sobrejetivo. Se
é sobrejetiva então
, portanto
Usando o teorema do passo anterior,
logo
Portanto a igualdade do enunciado é verdadeira, sob a hipótese de que
é uma aplicação linear.
Passo 6
Observações adicionais úteis na prova:
- A conclusão também mostra que, se
é sobrejetiva, necessariamente (pois implica ). - Exemplo concreto para fixar a ideia: tome
, e a matriz
que envia
em
. Aqui
é sobrejetiva em
, a imagem tem dimensão
, e o núcleo é
com dimensão
. De fato
, conferindo a fórmula.]
Passo 7
Conclusão final e incentivo: a afirmação é verdadeira (quando
é linear). O ponto-chave foi o Teorema posto–nulidade; se estiver em dúvida, memorizá-lo e praticar a prova por extensão de base ajuda muito na hora da prova — você já sabe aplicar ele como aqui. Vai dar certo, respira e partiu praticar mais exercícios!
Resposta
V