Considere a elipse:
Determine:
(a) os valores de
e
;
(b) os vértices;
(c) os focos;
(d) a excentricidade.
(a) os valores de
(b) os vértices;
(c) os focos;
(d) a excentricidade.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação da elipse
e pede quatro coisas:
(a) os valores de ,
e
;
(b) os vértices;
(c) os focos;
(d) a excentricidade.
(a) os valores de
(b) os vértices;
(c) os focos;
(d) a excentricidade.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Denominadores são
sob e sob . - A elipse está centrada na origem (não há termos de
ou isolados nem translação).
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas e ideias que vamos usar (explicando cada símbolo):
- A forma padrão da elipse centrada na origem com eixo maior na direção
é
onde:
-
é o semieixo maior (comprimento do semieixo ao longo do eixo principal), -
é o semieixo menor, - por convenção escolhe-se
(se os denominadores inversos aparecessem trocados, a maior raiz indica o semieixo maior). - A distância do centro a cada foco é dada por
, com relação
quando o eixo maior é horizontal (no caso do eixo maior vertical seria
, mas aqui veremos qual é o caso).
- Os vértices (os pontos finais dos eixos) ficam em:
- eixo maior (horizontal):
, - eixo menor (vertical):
.
- eixo maior (horizontal):
- Os focos ficam em
no caso horizontal. - A excentricidade
mede “o quanto a elipse é alongada” e é definida por
com
para elipses.
Passo 3
Identificar
e
a partir da equação dada. Comparando com
, vemos que
Como
, temos
e
.
(Isto confirma que o eixo maior é o eixo , porque o denominador sob
é o maior.)
(Isto confirma que o eixo maior é o eixo
Passo 4
Calcular
usando a relação entre
,
e
:
Logo
Passo 5
Determinar os vértices. Como o eixo maior é horizontal (junto a
), os vértices principais são os pontos
e os vértices secundários os pontos
. Portanto:
Passo 6
Determinar os focos. Para eixo maior horizontal, os focos são
. Substituindo o valor de
encontrado:
Passo 7
Calcular a excentricidade
. Pela definição,
Para intuição, pode-se aproximar numericamente
, e de fato
, confirmando que é uma elipse.
Passo 8
Verificação rápida (controle de consistência): verificar que
. Temos
e
, então
está ok. Também
bate com o cálculo anterior.
Resposta
(a)
(b) vértices: e
(c) focos:
(d) excentricidade:
(b) vértices:
(c) focos:
(d) excentricidade: