Considere a elipse:
\frac{x^{2}}{49}+\frac{y^{2}}{25}=1
Determine:
(a) os valores de a, b e c;
(b) os vértices;
(c) os focos;
(d) a excentricidade.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da elipse
\frac{x^{2}}{49}+\frac{y^{2}}{25}=1
e pede quatro coisas:
(a) os valores de a, b e c;
(b) os vértices;
(c) os focos;
(d) a excentricidade.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Denominadores são 49 sob x^{2} e 25 sob y^{2}.
  • A elipse está centrada na origem (não há termos de x ou y isolados nem translação).

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas e ideias que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • A forma padrão da elipse centrada na origem com eixo maior na direção x é
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde:
  • a>0 é o semieixo maior (comprimento do semieixo ao longo do eixo principal),
  • b>0 é o semieixo menor,
  • por convenção escolhe-se a\ge b (se os denominadores inversos aparecessem trocados, a maior raiz indica o semieixo maior).
  • A distância do centro a cada foco é dada por c, com relação
c^{2}=a^{2}-b^{2},
quando o eixo maior é horizontal (no caso do eixo maior vertical seria c^{2}=b^{2}-a^{2}, mas aqui veremos qual é o caso).
  • Os vértices (os pontos finais dos eixos) ficam em:
    • eixo maior (horizontal): (\pm a,0),
    • eixo menor (vertical): (0,\pm b).
  • Os focos ficam em (\pm c,0) no caso horizontal.
  • A excentricidade e mede “o quanto a elipse é alongada” e é definida por
e=\frac{c}{a},
com 0\le e<1 para elipses.

Passo 3

Identificar a^{2} e b^{2} a partir da equação dada. Comparando com \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1, vemos que
a^{2}=49,\qquad b^{2}=25.
Como 49>25, temos \,a=\sqrt{49}=7 e \,b=\sqrt{25}=5.
(Isto confirma que o eixo maior é o eixo x, porque o denominador sob x^{2} é o maior.)

Passo 4

Calcular c usando a relação entre a, b e c:
c^{2}=a^{2}-b^{2}=49-25=24.
Logo
c=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}.

Passo 5

Determinar os vértices. Como o eixo maior é horizontal (junto a x), os vértices principais são os pontos (\pm a,0) e os vértices secundários os pontos (0,\pm b). Portanto:
\text{vértices principais: }(\pm 7,0),\qquad \text{vértices secundários: }(0,\pm 5).ééá

Passo 6

Determinar os focos. Para eixo maior horizontal, os focos são (\pm c,0). Substituindo o valor de c encontrado:
\text{focos: }\bigl(\pm 2\sqrt{6},0\bigr).

Passo 7

Calcular a excentricidade e. Pela definição,
e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{6}}{7}.
Para intuição, pode-se aproximar numericamente e\approx 0{,}699, e de fato 0<e<1, confirmando que é uma elipse.

Passo 8

Verificação rápida (controle de consistência): verificar que c<a. Temos 2\sqrt{6}\approx 4{,}8989 e a=7, então c<a está ok. Também a^{2}-b^{2}=24 bate com o cálculo anterior.

Resposta

(a) a=7,\quad b=5,\quad c=2\sqrt{6}
(b) vértices: (\pm 7,0) e (0,\pm 5)
(c) focos: \bigl(\pm 2\sqrt{6},0\bigr)
(d) excentricidade: e=\dfrac{2\sqrt{6}}{7}

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