Assinale verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique sua escolha utilizando demonstrações ou contra-exemplos.
( ) Sejam A_{m \times n} e B_{n \times m}, \operatorname{com} m \neq n, então \operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(B A);

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A de tamanho m\times n e B de tamanho n\times m com m\neq n, e pede para verificar se sempre vale
\det(A B)=\det(B A).
O conteúdo aqui é álgebra linear, mais precisamente propriedades de determinantes e de produtos de matrizes retangulares. Para resolver, vamos analisar as dimensões de AB e BA e usar a ideia de que matrizes de dimensão maior tendem a ser singular quando construídas a partir de matrizes “injetoras” de menor posto.

Passo 2

Note que
AB
é uma matriz m\times m e
BA
é uma matriz n\times n. Como m\neq n, uma dessas matrizes sempre terá dimensão maior. Se, por exemplo, m<n, então \rank(BA)\le\rank(A)\le m<n, o que implica que BA é singular e, portanto,
\det(BA)=0.
Por outro lado, AB pode até ser invertível (se \rank(A)=m), produzindo \det(AB)\neq0. Logo, em geral não podemos ter \det(AB)=\det(BA).

Passo 3

Vamos dar um contraexemplo explícito com m=2 e n=3. Defina
A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 1\\[3pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Então
AB = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 1\\\\ 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix}
é a identidade 2\times2, logo
\det(AB)=1.
Mas
BA = \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 1\\\\ 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
é singular, pois tem uma linha de zeros, e então
\det(BA)=0.
Como 1\neq0, concluímos que nem sempre \det(AB)=\det(BA).]

Resposta

Falso.

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