Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 5 & 3\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ccc}5 & 6 & 2 \\\\ 0 & -1 & -8 \\\\ 1 & 0 & -2\end{array}\right), calcule:
(a) \operatorname{det}\left(A-\lambda I_{2}\right) \mathrm{e} \operatorname{det}\left(B-\lambda I_{3}\right);
(b) os valores de \lambda para que a matriz A-\lambda I_{2} não seja inversível;
(c) os valores de \lambda para que a matriz B-\lambda I_{3} não seja inversível.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 5 & 3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}5 & 6 & 2\\\ 0 & -1 & -8\\\ 1 & 0 & -2\end{pmatrix}
e pede (a) os polinômios \det(A-\lambda I_2) e \det(B-\lambda I_3), (b) os \lambda que tornam A-\lambda I_2 não inversível e (c) os \lambda que tornam B-\lambda I_3 não inversível. Vamos usar cálculo de determinante (fórmula de 2\times2 e expansão de Laplace em 3\times3) e resolver as equações \det(\cdot)=0.

Passo 2

Para \det(A-\lambda I_2) escrevemos
A-\lambda I_2 =\begin{pmatrix}2-\lambda & 0\\\ 5 & 3-\lambda\end{pmatrix}
e aplicamos a fórmula do determinante de 2\times2:
\det(A-\lambda I_2)=(2-\lambda)(3-\lambda)-0\cdot5\,.

Passo 3

Explicando e fatorando,
\det(A-\lambda I_2)=(2-\lambda)(3-\lambda) =\lambda^2-5\lambda+6\,.

Passo 4

Para \det(B-\lambda I_3) temos
B-\lambda I_3 =\begin{pmatrix} 5-\lambda & 6 & 2\\\\ 0 & -1-\lambda & -8\\\\ 1 & 0 & -2-\lambda \end{pmatrix}.
Fazemos expansão de Laplace pela primeira coluna:
\det(B-\lambda I_3) =(5-\lambda)\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & -8\\\ 0 & -2-\lambda\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}6 & 2\\\ -1-\lambda & -8\end{pmatrix}.

Passo 5

Calculando os menores e somando:
\det(B-\lambda I_3) =(5-\lambda)((-1-\lambda)(-2-\lambda)) +\bigl(6\cdot(-8)-2\cdot(-1-\lambda)\bigr).
Isso simplifica a
\det(B-\lambda I_3)=-\lambda^3+2\lambda^2+15\lambda-36 =-(\lambda-3)^2(\lambda+4).

Passo 6

A matriz A-\lambda I_2 não é inversível quando
\det(A-\lambda I_2)=0 \quad\Longrightarrow\quad (2-\lambda)(3-\lambda)=0
de onde
\lambda=2\quad\text{ou}\quad\lambda=3.

Passo 7

A matriz B-\lambda I_3 não é inversível quando
\det(B-\lambda I_3)=0 \quad\Longrightarrow\quad -(\lambda-3)^2(\lambda+4)=0
de onde
\lambda=3 \quad\text{ou}\quad \lambda=-4.

Resposta

(a) \det(A-\lambda I_2)=(2-\lambda)(3-\lambda), \det(B-\lambda I_3)=-(\lambda-3)^2(\lambda+4)
(b) \lambda=2 ou \lambda=3
(c) \lambda=3 ou \lambda=-4

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