Considere o subespaço mathcal{S}=\operatorname{ger}\{(1,2,-1),(0,1,1),(2,-1,3)\}
(a) o vetor (-1,2,1) \in \mathcal{S} ?.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
\mathcal{S} = \operatorname{ger}\{v_1,v_2,v_3\}\subset\mathbb{R}^3
com
v_1 = (1,2,-1),\quad v_2=(0,1,1),\quad v_3=(2,-1,3),
e pergunta se o vetor
(-1,2,1)
pertence a \mathcal{S}. Para isso, vamos testar se há escalares c_1,c_2,c_3 tais que
c_1\,v_1 + c_2\,v_2 + c_3\,v_3 = (-1,2,1).

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, da igualdade
c_1(1,2,-1) + c_2(0,1,1) + c_3(2,-1,3) = (-1,2,1)
obtemos o sistema
c_1 + 2c_3 = -1,
2c_1 + c_2 - c_3 = 2,
-\,c_1 + c_2 + 3c_3 = 1.

Passo 3

Da primeira equação isole c_1:
c_1 = -1 - 2c_3.
Substituindo na segunda:
2(-1 - 2c_3) + c_2 - c_3 = 2 \implies -2 - 4c_3 + c_2 - c_3 = 2 \implies c_2 = 4 + 5c_3.
Agora use essas expressões na terceira:
-(-1 - 2c_3) + (4 + 5c_3) + 3c_3 = 1 \implies 1 + 2c_3 + 4 + 5c_3 + 3c_3 = 1 \implies 5 + 10c_3 = 1 \implies c_3 = -\tfrac{2}{5}.
Então
c_1 = -1 - 2\bigl(-\tfrac{2}{5}\bigr) = -\tfrac{1}{5}, \quad c_2 = 4 + 5\bigl(-\tfrac{2}{5}\bigr) = 2.

Passo 4

Encontramos escalares \bigl(c_1,c_2,c_3\bigr)=\bigl(-\tfrac{1}{5},2,-\tfrac{2}{5}\bigr) que reproduzem
(-1,2,1) como combinação linear de v_1,v_2,v_3. Logo (-1,2,1)\in\mathcal{S}.

Resposta

Sim. De fato,
(-1,2,1) = -\tfrac{1}{5}(1,2,-1) + 2(0,1,1) - \tfrac{2}{5}(2,-1,3).

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