Estabeleça a condição que deve ser satisfeita a e b para que o sistema seja compatível.
\begin{aligned} & x-2 y-z=a \\\ & 2 x+y+3 z=b \\\ & 4 x-3 y+z=1 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x - 2y - z = a,\\\\ 2x + y + 3z = b,\\\\ 4x - 3y + z = 1, \end{cases}
e pede a condição em a e b para que ele seja compatível. O conteúdo é teoria de sistemas lineares: calculamos o determinante para ver se há solução única e, se for zero, usamos a consistência (rank dos coeficientes igual ao rank da matriz aumentada).

Passo 2

Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1\\\\ 2 & 1 & 3\\\\ 4 & -3 & 1 \end{pmatrix}.
Temos
\det(A) =1\cdot\begin{vmatrix}1&3\\\ -3&1\end{vmatrix} -(-2)\cdot\begin{vmatrix}2&3\\\ 4&1\end{vmatrix} +(-1)\cdot\begin{vmatrix}2&1\\\ 4&-3\end{vmatrix} =10 -20 +10 = 0.
Como \det(A)=0, não há solução única, e a compatibilidade depende de uma condição de consistência.

Passo 3

Procuramos coeficientes \alpha,\beta\) tais que \(\alpha\)\,(Eq. 1)\(+\)\(\beta\)\,(Eq. 2)\(=\)Eq. 3, ou seja, \[\begin{cases} \alpha + 2\beta = 4,\\\\ -2\alpha + \beta = -3,\\\\ -\alpha +3\beta = 1. \end{cases}
Das duas primeiras equações segue \beta=1\] e \(\alpha=2, e a terceira é satisfeita automaticamente, confirmando que
4x-3y+z = 2\,(x-2y-z) + 1\,(2x+y+3z).

Passo 4

Para que o sistema seja compatível, a mesma combinação deve valer para os termos constantes, isto é,
1 \;=\;2\cdot a \;+\;1\cdot b \quad\Longrightarrow\quad 2a + b = 1.

Resposta

2a + b = 1

Exercícios relacionados