Mostre que a inversa de uma triangular inferior é triangular inferior e a inversa de uma matriz triangular superior é triangular superior.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas:
- Se
é triangular inferior invertível, então também é triangular inferior. - Se
é triangular superior invertível, então também é triangular superior.
A ideia é usar a equação de inversão matricial
ou
e resolver coluna a coluna por substituição, observando que as entradas “fora” da região triangular são obrigadas a zero.
Passo 2
Seja
e suponha
invertível. Denote
. Como
temos, para todo
,
Note que, por hipótese, em cada soma os termos com
são nulos.
Passo 3
Fixe a coluna
de
e resolva as equações para
em ordem crescente (substituição direta):
- Para
Assim, se então e . - Suponha que para todo
já temos sempre que . - Para essa linha geral
com , a equação envolve apenas , mas todos os com já são zero, forçando
Conclui-se que
para
, ou seja,
é triangular inferior.
Passo 4
Assim mostramos que se
é triangular inferior invertível, então
é triangular inferior.
Passo 5
De modo análogo, seja
e
. Da equação
resolvemos cada coluna de
por retro-substituição (começando por
e descendo). Esse processo força
logo
é triangular superior.
Resposta
Seja
triangular inferior invertível; então
é triangular inferior.
Seja triangular superior invertível; então
é triangular superior.
Seja