Mostre que a inversa de uma triangular inferior é triangular inferior e a inversa de uma matriz triangular superior é triangular superior.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas:
  1. Se A\in M_n(\mathbb K) é triangular inferior invertível, então A^{-1} também é triangular inferior.
  2. Se B\in M_n(\mathbb K) é triangular superior invertível, então B^{-1} também é triangular superior.
    A ideia é usar a equação de inversão matricial
A\,X=I
ou
B\,Y=I
e resolver coluna a coluna por substituição, observando que as entradas “fora” da região triangular são obrigadas a zero.

Passo 2

Seja
A=(a_{ij})\quad\text{triangular inferior, ou seja }a_{ij}=0\text{ para }i<j,
e suponha A invertível. Denote X=A^{-1}=(x_{ij}). Como
A\,X=I,
temos, para todo i,j,
\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\,x_{kj}=\delta_{ij}.
Note que, por hipótese, em cada soma os termos com k>i são nulos.

Passo 3

Fixe a coluna j de X e resolva as equações para i=1,2,\dots,n em ordem crescente (substituição direta):
  • Para i=1 a_{11}\,x_{1j}=\delta_{1j} \quad\Longrightarrow\quad x_{1j}=\frac{\delta_{1j}}{a_{11}}.Assim, se j>1 então \delta_{1j}=0 e x_{1j}=0.
  • Suponha que para todo k<i já temos x_{kj}=0 sempre que k<j.
  • Para essa linha geral i com i<j, a equação a_{i1}x_{1j}+\cdots+a_{ii}x_{ij}=\delta_{ij}=0envolve apenas x_{1j},\dots,x_{ij}, mas todos os x_{kj} com k<j já são zero, forçando x_{ij}=0\quad\text{sempre que }i<j.
Conclui-se que x_{ij}=0 para i<j, ou seja, X é triangular inferior.

Passo 4

Assim mostramos que se A é triangular inferior invertível, então A^{-1} é triangular inferior.

Passo 5

De modo análogo, seja
B=(b_{ij})\quad\text{triangular superior, ou seja }b_{ij}=0\text{ para }i>j,
e Y=B^{-1}. Da equação
B\,Y=I
resolvemos cada coluna de Y por retro-substituição (começando por i=n e descendo). Esse processo força
y_{ij}=0\quad\text{sempre que }i>j,
logo Y é triangular superior.

Resposta

Seja A triangular inferior invertível; então A^{-1} é triangular inferior.
Seja B triangular superior invertível; então B^{-1} é triangular superior.

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