2.5 Assintota vertical e horizontal usando limite f(x)=\frac{x^{2}-2 x}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}-2x}{x^{2}-4}
e pede as assíntotas verticais e horizontais usando limites. Lembrando que
– há assíntota vertical em x=a se \lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty;
– há assíntota horizontal em y=L se \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L.

Passo 2

Identificamos onde o denominador se anula, pois são candidatos a descontinuidade:
x^{2}-4=0
x=2\quad\text{ou}\quad x=-2.
Para entender melhor, fatoramos f:
f(x) = \frac{x(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x}{x+2}, \quad x\neq\pm2.

Passo 3

Em x=2 o fator (x-2) cancela e o limite é
\lim_{x\to2}f(x) = \lim_{x\to2}\frac{x}{x+2} = \frac{2}{4} = \frac12,
que é finito. Logo não há assíntota vertical em x=2, mas sim uma descontinuidade removível.

Passo 4

Em x=-2 o cancelamento não ocorre. Nesse ponto o numerador tende a um valor finito -2 e o denominador tende a zero, gerando
\lim_{x\to -2^-}f(x)=+\infty, \quad \lim_{x\to -2^+}f(x)=-\infty.
Como f(x) diverge para \pm\infty ao se aproximar de -2, isso caracteriza uma assíntota vertical em
x=-2.

Passo 5

Para a assíntota horizontal, avaliamos o limite em infinito. Os graus do numerador e do denominador são iguais, então
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}-2x}{x^{2}-4} = 1.
Portanto há uma assíntota horizontal em y=1.

Resposta

Assíntota vertical: x=-2
Assíntota horizontal: y=1

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