1 f(x)=\left\{\begin{array}{l}1+x^{2}, \text { se } x \leqslant 0 \\\\ 2-x, \text { se } 0<x \leqslant 2 \\\ \frac{1}{x-1}, \text { se } x>2\end{array}\right. - faça o gráfico

Passo 1

Estamos lidando com o conteúdo de funções definidas por partes e queremos desenhar o gráfico de
f(x)= \begin{cases} 1 + x^{2}, & x \le 0,\\\\ 2 - x, & 0 < x \le 2,\\\ \dfrac{1}{x-1}, & x > 2. \end{cases}
Para isso, em cada ramo vamos identificar domínio, fórmula, forma da curva e pontos de ligação (abertos ou fechados).

Passo 2

No intervalo x \le 0, temos f(x)=1 + x^{2}, que é uma parábola voltada para cima com vértice em (0,1).
  • Para valores negativos de x, a parábola cresce quando |x| aumenta.
  • Em x=0 está incluído, logo marcamos um ponto cheio em (0,1).
    Desenhe essa parábola para a esquerda de x=0, mantendo o ponto fechado em (0,1).

Passo 3

No intervalo 0 < x \le 2, temos f(x)=2 - x, uma reta decrescente de coeficiente angular -1.
  • Ao aproximar x\to 0^+, f(x)\to 2, mas como x=0 não pertence a este ramo, colocamos um ponto aberto em (0,2).
  • Em x=2 pertence ao ramo, então marcamos ponto fechado em (2,0).
    Desenhe o segmento de reta ligando (aberto) (0,2) a (fechado) (2,0).

Passo 4

Para x>2, f(x)=\frac{1}{x-1}, que é um ramo de hipérbole com assíntota vertical em x=1 (fora do nosso domínio) e assíntota horizontal y=0.
  • O domínio deste ramo é (2,\infty), então não marcamos nada em x=2.
  • Ao aproximar x\to2^+, f(x)\to 1: representamos isso com um ponto aberto em (2,1).
  • Conforme x\to\infty, f(x)\to0.
    Desenhe esse ramo de hipérbole para a direita de x=2, com ponto aberto em (2,1) e curvas se aproximando de y=0.

Resposta

O gráfico de f é a união de três peças:
  1. Uma parábola y=1+x^{2} para x\le0, com ponto fechado em (0,1).
  2. Um segmento de reta de (0,2) (ponto aberto) até (2,0) (ponto fechado).
  3. Um ramo de hipérbole y=1/(x-1) para x>2, com ponto aberto em (2,1) e assíntota horizontal y=0.

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