( 5 val ) Ache o conjunto solução dos sistemas de equações e de inequações.
a) \left\{\begin{array}{l}\log _{2} x+\log _{2} y=3 \\\ \log _{2} x-\log _{2} y=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} \log_{2}x + \log_{2}y = 3,\\\ \log_{2}x - \log_{2}y = 1, \end{cases}
e pede o conjunto solução. O conteúdo é resolução de sistema envolvendo logaritmos, usando as propriedades \log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(bc) e \log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a}(b/c). Lembrar que devemos ter x>0 e y>0.

Passo 2

Aplicando as propriedades de logaritmo, reescrevemos as equações como
\log_{2}(xy) = 3 \quad\Rightarrow\quad xy = 2^{3} = 8,
\log_{2}\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x}{y} = 2^{1} = 2.
Da segunda equação vem x = 2y. Substituindo em xy=8 obtemos
2y\cdot y = 8 \quad\Rightarrow\quad 2y^{2} = 8 \quad\Rightarrow\quad y^{2} = 4.
Como y>0, temos y = 2 e, consequentemente, x = 2y = 4.

Resposta

O conjunto solução é \{(4,2)\}.

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