(Continuidade de funções -2,5 pontos) Prove que a função
f(x)=ll (3 x+3), & se x<2 5 ; & se x=2 (2 x-1)^2 & se x>2
é descontínua em x overlineS. Então determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina f(x) para que seja contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente provar que a função dada é descontínua em e identificar que tipo de descontinuidade é essa. Vamos usar o conteúdo de continuidade de funções e precisar calcular limites e verificar o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função:
f(x)=ll 3x + 3, & se x < 2 5, & se x = 2 (2x - 1)^2, & se x > 2
O único ponto que pode ter descontinuidade aqui é , então é onde vamos focar.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda de limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (3x + 3) = 3(2) + 3 = 6 + 3 = 9 quando se aproxima de 2:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita de limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ (2x - 1)^2 = (2(2) - 1)^2 = (4 - 1)^2 = 3^2 = 9 quando se aproxima de 2:

Passo 5

O limite geral de limx to 2 f(x) = 9 quando f(2) = 5 se aproxima de 2 é igual a 9, já que os limites pela esquerda e pela direita são iguais:
Agora, vamos ver o valor da função em :
Como o limite é 9 e o valor da função é 5, eles não são iguais. Isso significa que a função é descontínua em .

Passo 6

Agora, precisamos determinar se essa descontinuidade é removível ou essencial. Como o limite existe (é 9) mas é diferente do valor da função, é uma descontinuidade removível. Ou seja, podemos ajustar o valor de para que a função fique contínua.

Resposta

A função f(x)=ll 3x + 3, & se x < 2 9, & se x = 2 (2x - 1)^2, & se x > 2 é descontínua em e essa descontinuidade é removível. Para tornar a função contínua, podemos redefinir para 9, assim:

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