(Assíntotas - 2,0 pontos) Ache as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da função definida por
f(x)=2 x+6x-3

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas da função racional
f(x)=2x+6x-3
e um esboço do seu gráfico. O conteúdo aqui é análise de assíntotas (vertical e horizontal) e esboço de função hiperbólica.

Passo 2

Determinar o domínio e a assíntota vertical: o denominador x-3 não pode ser zero, logo
domínio = Rsetminus3 í
e existe uma assíntota vertical em
x=3

Passo 3

Como o grau do numerador e do denominador são iguais (ambos de grau 1), a assíntota horizontal é dada pela razão dos coeficientes principais:
y = 21 = 2

Passo 4

Para entender melhor o gráfico, escrevemos
f(x)=2x+6x-3 =2 + 12x-3
Isso mostra que o gráfico é uma hipérbole obtida a partir da função básica 1/x, transladada de modo a ter assíntotas x=3 e y=2.

Passo 5

Anotar interceptos e comportamentos:
  • Raiz ( y=0) em 2x+6=0 Rightarrow x=-3, ponto (-3,0).
  • Intercepto em x=0: f(0)=6/(-3)=-2, ponto (0,-2).
  • Ao aproximar-se de xto3^-, f(x)to -infty; para xto3^+, f(x)to+infty.
  • Para xtopminfty, f(x)to2.

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Para x<3, o ramo da hipérbole fica abaixo de y=2, passando por (-3,0) e (0,-2) e tendendo a y=2 à esquerda e a x=3 pelo lado negativo.
  • Para x>3, o ramo fica acima de y=2, tende a y=2 à direita e a x=3 pelo lado positivo.

Resposta

A assíntota vertical é x=3.
A assíntota horizontal é y=2.
O gráfico é uma hipérbole com ramos descritos no passo 6.

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