Seja um triângulo
.
é a altura relativa de
, com
localizado entre
e
. Seja
a mediana relativa de
. Sabendo que
, a soma dos possíveis valores inteiros de
é
(A) 11
(B) 13
(C) 18
(D) 21
(E) 26
(A) 11
(B) 13
(C) 18
(D) 21
(E) 26
Passo 1
O enunciado fala de um triângulo
. É dada a altura
sobre
, com
entre
e
, e a mediana
sobre
. Sabe-se que
Queremos os valores inteiros possíveis de
e a soma deles. Para resolver, vamos usar geometria analítica colocando
na origem e
sobre o eixo
.
Passo 2
Escolhemos
pois
. A altura
implica que
com
.
Passo 3
Como
e
é o ponto médio de
, temos
Logo
Passo 4
Da condição anterior isolamos
:
Passo 5
O ponto médio de
é
Assim
Substituindo
resulta
Passo 6
Para
ficar entre
e
e o triângulo não degenerar, precisamos
Então
varia em
.
Passo 7
Queremos
inteiro; seja
. Então
Como
, vem
, logo
Isto dá
com
, ou seja
. O caso
corresponderia a
, triângulo degenerado, e é rejeitado.
Resposta
A soma dos valores inteiros possíveis de
é
ou seja a alternativa (B).