Seja um triângulo A B C. A H é a altura relativa de B C, com H localizado entre B e C. Seja B M a mediana relativa de A C. Sabendo que B H=A M=4, a soma dos possíveis valores inteiros de B M é
(A) 11
(B) 13
(C) 18
(D) 21
(E) 26

Passo 1

O enunciado fala de um triângulo ABC. É dada a altura AH sobre BC, com H entre B e C, e a mediana BM sobre AC. Sabe-se que
BH = AM = 4
Queremos os valores inteiros possíveis de BM e a soma deles. Para resolver, vamos usar geometria analítica colocando B na origem e BC sobre o eixo x.

Passo 2

Escolhemos
B=(0,0), C=(c,0), H=(4,0),
pois BH=4. A altura AH implica que
A=(4,h),
com h>0.

Passo 3

Como AM=4 e M é o ponto médio de AC, temos
AC = 2,AM = 8
Logo
(c-4)^2 + h^2 = 8^2 = 64

Passo 4

Da condição anterior isolamos h^2:
h^2 = 64 - (c-4)^2

Passo 5

O ponto médio de AC é
Ml(tfrac4+c2,; tfrach2r)
Assim
BM = raizl(tfrac4+c2r)^2 + l(tfrach2r)^2 = tfrac12raiz(c+4)^2 + h^2
Substituindo h^2=64 - (c-4)^2 resulta
BM = tfrac12raizl[(c+4)^2 + 64 - (c-4)^2r] =2raizc+4

Passo 6

Para H ficar entre B e C e o triângulo não degenerar, precisamos
4 < c < 12
Então c+4 varia em (8,16).

Passo 7

Queremos BM=2raizc+4 inteiro; seja BM = ninZ. Então
2raizc+4 = n Longrightarrow c+4 = l(tfracn2r)^2
Como 4<c<12, vem 8 < c+4 <16, logo
8 < l(tfracn2r)^2 < 16 Longrightarrow raiz8 < tfracn2 < 4
Isto dá n/2in3,;3,5 com n>0, ou seja nin6,7. O caso n=8 corresponderia a c+4=16, triângulo degenerado, e é rejeitado.

Resposta

A soma dos valores inteiros possíveis de BM é
6 + 7 = 13,
ou seja a alternativa (B).

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