(Continuidade de funções - 2,0 pontos) Prove que a função
f(x)=ll (x+1)^2, & se x<1 5, & se x=1 (3 x-1)^2 & se x>1
é descontínua em x=1. Então determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina f(x) para que seja contínua.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= (x+1)^2,&x<1, 5,&x=1, (3x-1)^2,&x>1
e pede para mostrar que ela é descontínua em x=1, classificar a descontinuidade e, se for removível, redefinir f para ficar contínua.

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda:
limxto1^-f(x) =limxto1^-(x+1)^2 =(1+1)^2 =4

Passo 3

Calcular o limite pela direita:
limxto1^+f(x) =limxto1^+(3x-1)^2 =(3cdot1-1)^2 =2^2 =4

Passo 4

Os limites lateral esquerdo e direito existem e são iguais a 4, mas f(1)=5. Logo
limxto1f(x)=4neq f(1)=5,
portanto f é descontínua em x=1.

Passo 5

Como limxto1f(x) existe finito, a descontinuidade é removível. Basta redefinir
f(1)=4
para tornar f contínua.

Resposta

A descontinuidade em
a função passa a ser contínua em todo (\mathbb{R}].

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