Uma assistente social deseja saber o tamanho da amostra ( n ) necessário para determinar a proporção da população atendida por uma Unidade de Saúde, que pertence ao município de Alegrete. Não foi feito um levantamento prévio da proporção amostral e, portanto, seu valor é desconhecido. Ela quer ter 90 \% de confiança que sua o erro máximo de estimativa (d) seja de 5 \% (ou 0,05 ). Quantas pessoas necessitam ser entrevistadas?
6) Baseado nos dados do exercício 5 , utilize uma margem de erro maior, como 0,20(20 \%) e determine qual seria o tamanho da amostra necessário quando o nível de confiança é 90 \% e quando é 95 \%.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o tamanho da amostra n necessária em duas situações distintas. Informações dadas e perguntas claramente separadas:
  • Situação A (exercício 5): confiança de 90\% e erro máximo de estimativa d=0,05 (ou 5\%). A proporção amostral prévia é desconhecida.
  • Situação B (exercício 6): usar margem de erro maior d=0,20 (ou 20\%) e calcular n para:
    • B1: nível de confiança 90\%.
    • B2: nível de confiança 95\%.
      Não foi fornecido o tamanho da população nem uma estimativa previa de proporção, então devemos usar as informações acima para calcular n.

Passo 2

Apresentando a fórmula que conecta margem de erro, proporção e tamanho de amostra (caso de população grande, sem correção para população finita). A margem de erro d de um intervalo de confiança para proporção é dada por
d = z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},
onde:
  • d é o erro máximo permitido (em proporções, ex.: 0,05),
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança desejado (por exemplo, para 95\% de confiança, z_{\alpha/2}=1{,}96),
  • p é a proporção verdadeira (ou a estimativa da proporção),
  • n é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
    Agora isolamos n nessa fórmula. Ao elevar ao quadrado ambos os lados e rearranjar:
d^2 = z_{\alpha/2}^2\frac{p(1-p)}{n} \quad\Longrightarrow\quad n = \frac{z_{\alpha/2}^2\,p(1-p)}{d^2}.
Essa é a fórmula que usaremos. Vou explicar cada peça enquanto aplicamos.

Passo 3

O valor de p é desconhecido. Quando p é desconhecido, a prática padrão para garantir que a amostra seja suficientemente grande é usar o valor que maximiza a variância p(1-p). A função p(1-p) é uma parábola que atinge máximo em p=\tfrac{1}{2}, com valor máximo
p(1-p)\Big|_{p=1/2} = \tfrac{1}{2}\bigl(1-\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{1}{4}=0{,}25.
Usando p=0{,}5 garantimos que o n calculado funciona para qualquer proporção real (é o caso mais conservador). Portanto, adotaremos p=0{,}5 e p(1-p)=0{,}25.

Passo 4

Precisamos dos valores de z_{\alpha/2} para os níveis de confiança pedidos:
  • Para confiança de 90\%: \alpha=0{,}10, logo \alpha/2=0{,}05 e o quantil correspondente é aproximadamente \,z_{0{,}05}=1{,}645.
  • Para confiança de 95\%: \alpha=0{,}05, logo \alpha/2=0{,}025 e o quantil é aproximadamente \,z_{0{,}025}=1{,}96.
    Esses valores vêm da tabela da normal padrão (ou calculadora).

Passo 5

Agora calculamos o caso A (exercício 5): d=0{,}05, confiança 90\%\Rightarrow z=1{,}645, p(1-p)=0{,}25.
Aplicando a fórmula:
n = \frac{(1{,}645)^2\cdot 0{,}25}{(0{,}05)^2}.
Faço as contas passo a passo:
(1{,}645)^2 = 2{,}706025,
2{,}706025\cdot 0{,}25 = 0{,}67650625,
(0{,}05)^2 = 0{,}0025,
n = \frac{0{,}67650625}{0{,}0025} = 270{,}6025.
Como n precisa ser inteiro e devemos garantir que o erro não exceda d, arredondamos sempre para cima. Portanto n = 271.

Passo 6

Agora a Situação B: usamos d=0{,}20 (ou 0{,}20), e novamente p(1-p)=0{,}25. Vamos calcular separadamente para confiança 90\% e 95\%.

Passo 7

Caso B1 — confiança 90\% ( z=1{,}645):
n = \frac{(1{,}645)^2\cdot 0{,}25}{(0{,}20)^2}.
Calculemos:
(1{,}645)^2 = 2{,}706025,
2{,}706025\cdot 0{,}25 = 0{,}67650625,
(0{,}20)^2 = 0{,}04,
n = \frac{0{,}67650625}{0{,}04} = 16{,}91265625.
Arredondando para cima: n = 17.

Passo 8

Caso B2 — confiança 95\% ( z=1{,}96):
n = \frac{(1{,}96)^2\cdot 0{,}25}{(0{,}20)^2}.
Calculemos:
(1{,}96)^2 = 3{,}8416,
3{,}8416\cdot 0{,}25 = 0{,}9604,
(0{,}20)^2 = 0{,}04,
n = \frac{0{,}9604}{0{,}04} = 24{,}01.
Arredondando para cima: n = 25.

Passo 9

Resumo interpretativo rápido (para você se sentir confiante): aumentar a margem de erro de 5\% para 20\% reduz muito o tamanho da amostra — lógico, porque você aceita menos precisão. A diferença entre 90\% e 95\% de confiança também aumenta n, mas não tanto quanto mudar d.

Resposta

\,n=271
\,n=17
\,n=25

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