A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas do país A está preocupada com o tempo perdido com acidentes de trabalho, cuja média, nos últimos tempos, tem sido de 60 horas/homem, com um desvio padrão de 12 horas/homem. Efetivou-se então um programa de prevenção de acidentes. Após a realização deste, de uma amostra de 9 indústrias aleatoriamente pesquisadas, observou-se uma média de 50 horas/homem de tempo perdido.
a)Construa um IC (de 95 \% de confiança)para o tempo médio perdido com acidentes de trabalho para o país A. Qual avaliação a associação dos proprietários deverá fazer a partir deste resultado?
b)Caso tal amostra tivesse sido feita com 36 indústrias, qual seria a margem de erro do IC obtido em “a” (em horas)?
c) Deseja-se repetir o estudo no ano seguinte, porém, fazendo com que a margem de erro seja a metade da encontrada em ’ b '. Qual seria o valor do n amostral?

Passo 1

O enunciado trata de estimar o tempo médio perdido com acidentes de trabalho \mu após a implantação de um programa, sabendo que o desvio padrão populacional é \sigma=12 horas. Como \sigma é conhecido, para construir um intervalo de confiança de 95\% de \mu usamos a distribuição normal padrão (critério Z).

Passo 2

A fórmula geral do intervalo de confiança para \mu com \sigma conhecido é
\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
Aqui \bar{x}=50, n=9, \sigma=12 e z_{0,025}=1,96. Logo
50 \pm 1,96 \times \frac{12}{\sqrt{9}} =50 \pm 1,96 \times 4 =50 \pm 7,84
Portanto o intervalo é
[\,50 - 7,84,\;50 + 7,84\,] =[\,42,16,\;57,84\,].

Passo 3

Como o intervalo de confiança [42,16;57,84] não inclui o valor histórico de 60 horas, podemos concluir que houve redução significativa no tempo médio perdido. A associação deve avaliar que o programa foi eficaz.

Passo 4

Se n=36, a margem de erro E do mesmo IC de 95\% seria
E = z_{0,025}\,\frac{\sigma}{\sqrt{36}} =1,96 \times \frac{12}{6} =1,96 \times 2 =3,92\text{ horas}.

Passo 5

Para ter meia-margem de erro, ou seja E' = \tfrac{3,92}{2}=1,96 horas, resolvemos
E' = z_{0,025}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \;\Longrightarrow\; \sqrt{n} = \frac{z_{0,025}\,\sigma}{E'} \;\Longrightarrow\; n = \Bigl(\frac{1,96 \times 12}{1,96}\Bigr)^{2} =12^{2} =144.

Resposta

a) O IC de 95\% para \mu é [42,16;\,57,84]. Como 60 não está nele, houve redução significativa.
b) A margem de erro seria 3,92 horas.
c) Para ter metade dessa margem de erro, precisa-se de n=144.

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