A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas do país A está preocupada com o tempo perdido com acidentes de trabalho, cuja média, nos últimos tempos, tem sido de 60 horas/homem perdido, com um desvio padrão de 12 horas/homem. Efetivouse então um programa de prevenção de acidentes. Após a realização deste, de uma amostra de 9 indústrias aleatoriamente pesquisadas, observou-se uma média de 50 horas/homem de tempo. (use nível de significância de \alpha=0.05 ).
Use um teste de hipótese e avalie se há evidências de que o programa de prevenção tenha surtido efeito. Obtenha o valor-p e o Erro do T. Il do teste.

Passo 1

O enunciado considera o tempo perdido com acidentes de trabalho, com média histórica \mu_0 = 60 horas/homem e desvio padrão populacional \sigma = 12 horas/homem. Foi aplicado um programa de prevenção e, em n=9 indústrias, observou-se média amostral \bar x = 50. Queremos testar, a nível de significância \alpha=0.05, se o programa reduziu o tempo perdido. Como \sigma é conhecido e supomos distribuição normal, usaremos o teste z para média.

Passo 2

Definimos as hipóteses
H_0\colon \mu = 60 \quad\text{vs.}\quad H_1\colon \mu < 60.
O estatístico de teste é
z = \frac{\bar x - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.

Passo 3

Substituindo \bar x=50, \mu_0=60, \sigma=12 e n=9:
z = \frac{50 - 60}{12/\sqrt{9}} = \frac{-10}{12/3} = \frac{-10}{4} = -2{,}5.
O valor- p para teste unilateral à esquerda é
p = P(Z \le -2{,}5)\approx 0{,}0062.
Como p<\alpha, rejeitamos H_0 e concluímos que há evidência de redução do tempo perdido.

Passo 4

Para calcular o erro tipo II, determinamos o ponto crítico de \bar x. O valor crítico em z é
z_{\alpha} = z_{0{,}05} = -1{,}645,
de modo que rejeitamos H_0 se
\bar x \le x_c \quad\text{com}\quad x_c = \mu_0 + z_{\alpha}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 60 - 1{,}645\cdot\frac{12}{3} = 60 - 6{,}58 = 53{,}42.

Passo 5

O erro tipo II \beta é a probabilidade de não rejeitar H_0 quando, por exemplo, o verdadeiro \mu=50. Assim,
\beta = P\bigl(\bar x > 53{,}42 \mid \mu=50\bigr) = P\!\Bigl(Z > \frac{53{,}42-50}{12/3}\Bigr) = P\bigl(Z > 0{,}855\bigr) \approx 1 - 0{,}8023 = 0{,}1977.

Resposta

O valor- p do teste é aproximadamente 0{,}0062 e o erro tipo II, supondo \mu=50, é aproximadamente 0{,}198.

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