Um engenheiro naval está avaliando os níveis de vibração percebidos por operadores em salas de controle de embarcações durante longas viagens oceânicas. Estudos anteriores, realizados antes da adoção de novos isoladores de vibração e melhorias ergonômicas, indicavam um nível médio de vibração percebida de 79 pontos, numa escala de desconforto padronizada.
Após a implementação das melhorias, um estudo com 25 operadores foi conduzido para verificar se houve redução no desconforto. Os resultados indicaram uma média de 70 pontos, com desvio padrão de 12 pontos.
a) Calcule um intervalo de confiança de 90 \% para o novo nível médio de vibração percebida.
b) Caso o engenheiro deseje um nível de confiança de 99 \%, qual seria o erro amostral (margem de erro) correspondente?

Passo 1

O enunciado apresenta uma amostra de tamanho n=25 com média amostral \bar{x}=70 e desvio-padrão amostral s=12. Queremos:
a) um intervalo de confiança de 90\% para a média verdadeira \mu.
b) a margem de erro para um intervalo de confiança de 99\%.
Como n é pequeno e só conhecemos s, usamos a distribuição t de Student com df=n-1=24.

Passo 2

Para o nível de confiança de 90\%, o nível de significância é \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05.
O valor crítico é
t_{0,05,\,24}\approx 1,7109.
A margem de erro é
E_{90} \;=\; t_{0,05,24}\,\frac{s}{\sqrt{n}} \;=\;1,7109\;\frac{12}{\sqrt{25}} \;=\;1,7109\;\times 2{,}4 \;\approx 4{,}106.

Passo 3

O intervalo de confiança de 90\% para \mu é
\bar{x}\pm E_{90} \quad\Longrightarrow\quad 70 \pm 4{,}106 \quad\Longrightarrow\quad [65{,}894,\;74{,}106].

Passo 4

Para o nível de confiança de 99\%, temos \alpha=0,01 e \alpha/2=0,005.
O valor crítico é
t_{0,005,\,24}\approx 2,797.
A margem de erro é
E_{99} \;=\; t_{0,005,24}\,\frac{s}{\sqrt{n}} \;=\;2,797\;\frac{12}{\sqrt{25}} \;=\;2,797\;\times 2{,}4 \;\approx 6{,}7128.

Resposta

a) Intervalo de confiança de 90\%: [65{,}894,\;74{,}106].
b) Margem de erro para 99\%: aproximadamente 6{,}713.

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