De estudos anteriores, sabe-se que o endividamento médio (per capita) das famílias de áreas periféricas de uma região metropolitana é de cerca de R$220,00 . Acreditando-se que houve uma suave queda em tal valor, provocado em grande parte por transferências diretas dos governos no período de pandemia, tomou-se uma amostra aleatória de \mathrm{n}=200famílias dessa área, resultando num endividamento médio de R$ 200,00 e um desvio padrão de R$ 120 reais. Aplique um Teste de Hipóteses e avalie o resultado. Responda às perguntas que seguem:
a)Defina as hipóteses do problema.
b)Elabore um teste de hipótese para o problema acima. (use nível de significância de \alpha= 0.05).
c)O que se pode concluir sobre o endividamento das famílias a partir do resultado obtido em “b”?
d)Encontre a medida exata do Valor P do teste. Represente graficamente tal valor.
e)Calcule o Erro do Tipo II supondo que a média de endividamento das famílias tenha diminuído para R$ 190,00.

Passo 1

O enunciado traz uma amostra de n=200 famílias com média amostral de endividamento \bar X =200 e desvio‐padrão amostral s=120. Sabe‐se que, em geral, \mu_0=220. Queremos testar se houve queda em \mu. O conteúdo é teste de hipótese para média de população normal com \sigma desconhecido (teste t unilateral à esquerda), usando \alpha=0{,}05.

Passo 2

Formulamos
H_0:\mu=220
H_a:\mu<220
e adotamos \alpha=0{,}05. Rejeitamos H_0 se o estatístico t calculado for menor que o valor crítico t_{0{,}05,\,199}.
O estatístico de teste é
t=\frac{\bar X-\mu_0}{s/\sqrt{n}} =\frac{200-220}{120/\sqrt{200}} =\frac{-20}{120/14{,}142} \approx -2{,}357.
Para df=199 e teste unilateral à esquerda, o valor crítico é
t_{0{,}05,\,199}\approx -1{,}652.
Como
-2{,}357 < -1{,}652,
estamos na região de rejeição de H_0.

Passo 3

Como o valor de t calculado caiu na região crítica, rejeitamos H_0. Concluímos que, ao nível de 5\%, há evidência estatística de que o endividamento médio diminuiu em relação a R$ 220,00.
O valor- p é
p = P\bigl(T_{199}\le -2{,}357\bigr)\approx 0{,}0096.
Gráfico esquemático da distribuição t_{199} com área à esquerda de -2{,}357 sombreada:
__
/
/
--------|--------|------------> t -2,357
A região sombreada à esquerda de -2{,}357 corresponde a p\approx0{,}0096.

Passo 4

Para \mu_1=190, o ponto crítico em termos de \bar X é
\bar X_c=\mu_0 + t_{0{,}05,199}\,\frac{s}{\sqrt n} =220 -1{,}652\cdot\frac{120}{\sqrt{200}} \approx206{,}04.
Sob \mu=190, \bar X\sim\mathrm{N}\bigl(190,\,(120/\sqrt{200})^2\bigr), logo
\beta=P(\text{falha em rejeitar }H_0\mid\mu=190) =P\bigl(\bar X\ge206{,}04\mid\mu=190\bigr) =1-\Phi\Bigl(\frac{206{,}04-190}{120/\sqrt{200}}\Bigr) =1-\Phi(1{,}888)\approx0{,}03.

Resposta

(a) H_0:\mu=220;; H_a:\mu<220.
(b) Estatístico t=(200-220)/(120/\sqrt{200})\approx-2{,}357, valor crítico t_{0{,}05,199}\approx-1{,}652. Como -2{,}357< -1{,}652, rejeita-se H_0.
(c) Há evidência ao nível de 5\% de que o endividamento médio das famílias diminuiu.
(d) p\text{-valor}=P(T_{199}\le-2{,}357)\approx0{,}0096. Gráfico: curva t_{199} com a área à esquerda de -2{,}357 sombreada =0,0096.
(e) Erro Tipo II para \mu=190: \beta\approx0{,}03.

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