Pretende-se estimar o gasto médio mensal com educação de famílias de uma região do país, onde se sabe que, historicamente, o desvio padrão é da ordem de R$200,00. Para tal, uma amostra aleatória de \mathrm{n}=400famílias é obtida, gerando-se um valor médio amostral de gasto de R$800,00.
a) Construa um IC de 95% para o parâmetro de interesse. Comente o seu resultado.
b) Para um segundo estudo, deseja-se que a Margem de Erro seja de no máximo 50 reais. Qual seria o tamanho amostral " n " necessário?

Passo 1

O enunciado trata de estimar o gasto médio mensal com educação de famílias quando se conhece o desvio-padrão populacional \sigma. Temos \sigma=200, uma amostra de tamanho n=400 e média amostral \bar{x}=800. Na parte (a) vamos construir o intervalo de confiança de 95 % para a média \mu. Na parte (b) vamos determinar o n necessário para que a margem de erro seja, no máximo, R$ 50, usando o nível de confiança de 95 %.

Passo 2

Para um nível de confiança de 95 % tomamos \alpha=0,05 e, por simetria da distribuição normal padrão, o valor crítico é
z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}\approx 1,96.

Passo 3

Calculamos o erro padrão da média e a margem de erro:
\text{erro padrão} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{200}{\sqrt{400}} = \frac{200}{20} = 10,ã
\text{margem de erro }E = z_{0,975}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,96 \times 10 = 19,6.

Passo 4

O intervalo de confiança de 95 % para \mu é
\bigl[\bar{x}-E,\;\bar{x}+E\bigr] = [800-19,6,\;800+19,6] = [780,4,\;819,6].
Isso significa que podemos afirmar, com 95 % de confiança, que o gasto médio está entre R$780,40 e R$ 819,60. A margem de erro de aproximadamente R$ 20 mostra boa precisão na estimativa.

Passo 5

Para que a margem de erro seja no máximo R$ 50 em um IC de 95 %, usamos
E = z_{0,975}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le 50 \quad\Longrightarrow\quad n \ge \Bigl(\frac{z_{0,975}\,\sigma}{50}\Bigr)^{2}.
Substituindo valores:
n \ge \bigl(\tfrac{1,96 \times 200}{50}\bigr)^{2} = (7,84)^{2} \approx 61,47.

Passo 6

Como o tamanho amostral deve ser inteiro e atender à condição de erro, arredondamos para cima:
n = 62.

Resposta

a) O intervalo de confiança de 95 % é [780,4;\;819,6].
b) Para obter margem de erro de R$ 50 no mesmo nível de confiança, são necessárias n=62 famílias.

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