Pretende-se estimar o gasto médio mensal com educação de famílias de uma região do país, onde se sabe que, historicamente, o desvio padrão é da ordem de R$200,00. Para tal, uma amostra aleatória de
famílias é obtida, gerando-se um valor médio amostral de gasto de R$800,00.
a) Construa um IC de 95% para o parâmetro de interesse. Comente o seu resultado.
b) Para um segundo estudo, deseja-se que a Margem de Erro seja de no máximo 50 reais. Qual seria o tamanho amostral " n " necessário?
a) Construa um IC de 95% para o parâmetro de interesse. Comente o seu resultado.
b) Para um segundo estudo, deseja-se que a Margem de Erro seja de no máximo 50 reais. Qual seria o tamanho amostral " n " necessário?
Passo 1
O enunciado trata de estimar o gasto médio mensal com educação de famílias quando se conhece o desvio-padrão populacional
. Temos
, uma amostra de tamanho
e média amostral
. Na parte (a) vamos construir o intervalo de confiança de 95 % para a média
. Na parte (b) vamos determinar o
necessário para que a margem de erro seja, no máximo, R$ 50, usando o nível de confiança de 95 %.
Passo 2
Para um nível de confiança de 95 % tomamos
e, por simetria da distribuição normal padrão, o valor crítico é
Passo 3
Calculamos o erro padrão da média e a margem de erro:
Passo 4
O intervalo de confiança de 95 % para
é
Isso significa que podemos afirmar, com 95 % de confiança, que o gasto médio está entre R$780,40 e R$ 819,60. A margem de erro de aproximadamente R$ 20 mostra boa precisão na estimativa.
Passo 5
Para que a margem de erro seja no máximo R$ 50 em um IC de 95 %, usamos
Substituindo valores:
Passo 6
Como o tamanho amostral deve ser inteiro e atender à condição de erro, arredondamos para cima:
Resposta
a) O intervalo de confiança de 95 % é
.
b) Para obter margem de erro de R$ 50 no mesmo nível de confiança, são necessárias famílias.
b) Para obter margem de erro de R$ 50 no mesmo nível de confiança, são necessárias