Um engenheiro está avaliando a resistência à tração de um novo aço utilizado em eixos industriais. A resistência mínima exigida é de 800 MPa . Para testar se o lote atende ao padrão, é coletada uma amostra aleatória de \mathrm{n}=36 eixos, com média de resistência de 790 MPa . Sabe-se que a resistência tem um desvio padrão populacional de \sigma=18 \mathrm{MPa}. Perguntas:
a) Formule as hipóteses para testar se o lote não atende à especificação mínima.
b) Realize o teste Z ao nível de significância de 5 \%.
c) Calcule o valor-p associado.
d) Supondo que a verdadeira média seja \mu=785 \mathrm{MPa}, calcule o erro tipo II ( \beta ) para este teste.

Passo 1

Temos uma amostra de tamanho n=36 com média amostral \bar x=790 MPa e desvio padrão populacional \sigma=18 MPa. Queremos testar, ao nível de significância \alpha=0,05, se a resistência média \mu é menor que a especificação mínima de 800 MPa. Usaremos o teste Z para média com \sigma conhecida.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0:\mu =800\quad\text{vs.}\quad H_a:\mu<800.

Passo 3

A estatística de teste é
Z=\frac{\bar x-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} =\frac{790-800}{18/\sqrt{36}} =\frac{-10}{18/6} =\frac{-10}{3} \approx -3,333.

Passo 4

Para \alpha=0,05 num teste unilateral à esquerda, o valor crítico é
z_{1-\alpha}=-1,645.
Como Z_{\rm obs}\approx -3,333 < -1,645, rejeitamos H_0. Concluímos que há evidência de que a média é inferior a 800 MPa, isto é, o lote não atende à especificação.

Passo 5

O valor- p é
p = P(Z<-3,333)\approx 0,0004.

Passo 6

Para calcular o erro tipo II se \mu=785 MPa, primeiro achamos o ponto crítico em termos de \bar x:
\bar x_{\rm crit} =800 +(-1,645)\frac{18}{\sqrt{36}} =800 -1,645\cdot3 \approx795,065.
Então
\beta = P\bigl(\bar x\ge795,065\mid \mu=785\bigr) = P\!\Bigl(Z\ge\frac{795,065 -785}{18/6}\Bigr) = P(Z\ge3,355) \approx1-\Phi(3,355)\approx0,0004.

Resposta

a) \displaystyle H_0:\mu=800 vs.\ H_a:\mu<800.
b) Z_{\rm obs}\approx -3,333< -1,645, rejeita H_0.
c) p\approx0,0004.
d) \beta\approx0,0004.

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