Uma marca de pneus divulga que a duração média (tempo de vida) de um determinado modelo é de 45 mil km , com desvio padrão de 7 mil km . Como foi alterada a composição na fabricação, o fabricante decide avaliar se teve alguma alteração na duração a partir de testagem de uma amostra aleatória de 16 conjuntos, em automóveis
escolhidos ao acaso dentre um grupo. Use um Teste de Hipóteses para avaliar se houve alguma alteração na duração do pneu. Considere que a média amostral resultante foi de 42 mil km. (use nível de significância de \alpha=0.05 ).

Passo 1

O enunciado trata de um teste de hipóteses para verificar se a média de duração de um modelo de pneu mudou após alteração na composição. A informação inicial é que a fábrica afirma que a média antiga é de \mu_0 = 45000 km, com desvio padrão populacional conhecido \sigma = 7000 km. Foi coletada uma amostra com n = 16 conjuntos e obteve-se média amostral \bar X = 42000 km. O nível de significância é \alpha = 0,05. Como \sigma é conhecido, vamos usar o teste Z.

Passo 2

Formulamos as hipóteses bilaterais:
H_0:\mu = \mu_0 = 45000
H_1:\mu \neq 45000
O teste Z tem estatística
Z \;=\;\frac{\bar X - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}
e, para \alpha = 0,05 em teste bilateral, a região crítica é |Z| > z_{1-\alpha/2} = z_{0,975} \approx 1,96.

Passo 3

Substituindo os valores na estatística, temos
Z = \frac{42000 - 45000}{7000 / \sqrt{16}} = \frac{-3000}{7000/4} = \frac{-3000}{1750} \approx -1,714.

Passo 4

Como -1,96 < -1,714 < 1,96, o valor de Z está dentro da região de aceitação. Alternativamente, o p-valor é
p = 2\,P(Z < -1,714) \approx 2 \times 0{,}0433 = 0{,}0866 > 0{,}05,
o que confirma que não rejeitamos H_0.

Resposta

Não rejeitamos H_0 ao nível de 5\%. Não há evidência estatística de alteração na duração média dos pneus.

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