Qual a soma de todos os números de dois algarismos que divididos pelo maior número de um algarismo dão sempre o maior resto possível?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a soma de todos os números de dois algarismos que, divididos pelo maior número de um algarismo, dão sempre o maior resto possível?”\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
  1. Números de dois algarismos são todos os inteiros de 10 até 99 inclusive.\n
  2. O maior número de um algarismo é 9.\n
  3. Quando dividimos um número n por 9 o resto r satisfaz 0\le r\le 8. O enunciado pede os números que dão sempre o maior resto possível, ou seja, o resto máximo r=8.

Passo 2

Entendendo restos (explicação didática):\n
Ao dividir um inteiro n por 9 podemos escrever sempre
n = 9q + r
onde q é o quociente inteiro (um número inteiro não negativo) e r é o resto com 0\le r\le 8. Aqui cada símbolo significa:\n
  • n: o número que estamos dividindo;\n
  • 9: o divisor (o maior número de um algarismo);\n
  • q: quantas vezes 9 cabe inteiramente em n;\n
  • r: o que sobra depois de subtrair 9q de n.\n
    Como o enunciado pede o maior resto possível ao dividir por 9, isto significa que devemos ter r=8. Logo os números procurados satisfazem
n = 9q + 8.

Passo 3

Aplicando a condição n ter dois algarismos: queremos 10 \le n \le 99. Substituindo n=9q+8 obtemos
10 \le 9q+8 \le 99.
Agora resolvemos essa desigualdade em q. Subtraindo 8 de todos os lados:
10-8 \le 9q \le 99-8
ou seja
2 \le 9q \le 91.
Dividindo por 9:
\frac{2}{9} \le q \le \frac{91}{9}.
Como q é inteiro, os valores possíveis de q são q=1,2,\dots,10 (porque \frac{2}{9}<1 e \frac{91}{9}\approx 10{,}11). Para cada q desses, n=9q+8 é um número de dois algarismos com resto 8 na divisão por 9.

Passo 4

Gerando os números: para q=1 até q=10 calculamos n=9q+8.\n
Vamos listar e checar alguns para entender o padrão (cada cálculo mostrado):\n
  • q=1:\; n=9\cdot 1+8=17.\n
  • q=2:\; n=9\cdot 2+8=26.\n
  • q=3:\; n=9\cdot 3+8=35.\n
  • q=4:\; n=9\cdot 4+8=44.\n
  • q=5:\; n=9\cdot 5+8=53.\n
  • q=6:\; n=9\cdot 6+8=62.\n
  • q=7:\; n=9\cdot 7+8=71.\n
  • q=8:\; n=9\cdot 8+8=80.\n
  • q=9:\; n=9\cdot 9+8=89.\n
  • q=10:\; n=9\cdot 10+8=98.\n
    Observação: pegamos esses valores diretamente da expressão n=9q+8 e dos valores inteiros de q obtidos no passo anterior.

Passo 5

Reconhecendo uma progressão aritmética (explicação didática):\n
A lista de números obtida \,17,26,35,44,53,62,71,80,89,98, forma uma progressão aritmética (PA) porque cada termo aumenta em 9 em relação ao anterior (diferença comum d=9). Para uma PA com primeiro termo a_1, último termo a_n e razão d, o número de termos m é dado por
m = \frac{a_n - a_1}{d} + 1.
Aqui a_1=17, a_n=98 e d=9. Calculando:
m = \frac{98-17}{9} + 1 = \frac{81}{9} + 1 = 9 + 1 = 10.
Portanto há 10 termos, o que confirma nossa lista de 10 números.

Passo 6

Somando os termos da progressão (fórmula e explicação):\n
A soma S dos m termos de uma progressão aritmética pode ser calculada por
S = m\cdot\frac{a_1 + a_n}{2},
onde:\n
  • S é a soma dos termos;\n
  • m é o número de termos;\n
  • a_1 é o primeiro termo;\n
  • a_n é o último termo.\n
    Aplicando aos nossos valores m=10, a_1=17, a_n=98:
S = 10\cdot\frac{17+98}{2}.
Calculamos passo a passo sem calculadora:\n
17+98 = 115.\n
Logo
S = 10\cdot\frac{115}{2}.
Dividindo 115 por 2 57{,}5, então
S = 10\cdot 57{,}5 = 575.
Uma forma alternativa mental: 10\cdot 115 = 1150 e 1150/2 = 575.

Passo 7

Conclusão: a soma de todos os números de dois algarismos que, divididos por 9, deixam resto máximo 8 é 575.

Resposta

\;575

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