Qual a soma de todos os números de dois algarismos que divididos pelo maior número de um algarismo dão sempre o maior resto possível?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual a soma de todos os números de dois algarismos que, divididos pelo maior número de um algarismo, dão sempre o maior resto possível?”\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
- Números de dois algarismos são todos os inteiros de
até inclusive.\n - O maior número de um algarismo é
.\n - Quando dividimos um número
por o resto satisfaz . O enunciado pede os números que dão sempre o maior resto possível, ou seja, o resto máximo .
Passo 2
Entendendo restos (explicação didática):\n
Ao dividir um inteiro por
podemos escrever sempre
Ao dividir um inteiro
onde
é o quociente inteiro (um número inteiro não negativo) e
é o resto com
. Aqui cada símbolo significa:\n
-
: o número que estamos dividindo;\n -
: o divisor (o maior número de um algarismo);\n -
: quantas vezes cabe inteiramente em ;\n -
: o que sobra depois de subtrair de .\n
Como o enunciado pede o maior resto possível ao dividir por, isto significa que devemos ter . Logo os números procurados satisfazem
Passo 3
Aplicando a condição
ter dois algarismos: queremos
. Substituindo
obtemos
Agora resolvemos essa desigualdade em
. Subtraindo
de todos os lados:
ou seja
Dividindo por
:
Como
é inteiro, os valores possíveis de
são
(porque
e
). Para cada
desses,
é um número de dois algarismos com resto
na divisão por
.
Passo 4
Gerando os números: para
até
calculamos
.\n
Vamos listar e checar alguns para entender o padrão (cada cálculo mostrado):\n
Vamos listar e checar alguns para entender o padrão (cada cálculo mostrado):\n
-
\n -
\n -
\n -
\n -
\n -
\n -
\n -
\n -
\n -
\n
Observação: pegamos esses valores diretamente da expressãoe dos valores inteiros de obtidos no passo anterior.
Passo 5
Reconhecendo uma progressão aritmética (explicação didática):\n
A lista de números obtida , forma uma progressão aritmética (PA) porque cada termo aumenta em
em relação ao anterior (diferença comum
). Para uma PA com primeiro termo
, último termo
e razão
, o número de termos
é dado por
A lista de números obtida
Aqui
,
e
. Calculando:
Portanto há
termos, o que confirma nossa lista de
números.
Passo 6
Somando os termos da progressão (fórmula e explicação):\n
A soma dos
termos de uma progressão aritmética pode ser calculada por
A soma
onde:\n
-
é a soma dos termos;\n -
é o número de termos;\n -
é o primeiro termo;\n -
é o último termo.\n
Aplicando aos nossos valores, , :
Calculamos passo a passo sem calculadora:\n
\n
Logo
Logo
Dividindo
por
dá
, então
Uma forma alternativa mental:
e
.
Passo 7
Conclusão: a soma de todos os números de dois algarismos que, divididos por
, deixam resto máximo
é
.