Associe V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas corrigindo-as.
A) [] [0,5] O domínio da função real f(x)=\sqrt{x^{2}-4}-\frac{1}{x+5} é dado por D(f)=\{x \in \mathbb{R} \mid x>2 ou x \neq-5\}.
B) [] [0,5] Dada a função real f(x)=\frac{4 x+4}{7} podemos afirmar que f^{-1}(-4)=8.
C) [] [0,5] O conjunto solução da inequação \left|\frac{2 x+1}{3-x}\right| \leq 1 é dado por S=\left[-\frac{1}{2}, 3[\right..
D) [\quad][0,5] Se \lim _{x \rightarrow 5} f(x)=0 e \lim _{x \rightarrow 5} g(x)=0 então \lim _{x \rightarrow 5} \frac{f(x)}{g(x)} não existe.
E) [] [0,5] Se \lim _{x \rightarrow p^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow p^{-}} f(x) então f é contínua em $x=p.

Passo 1

O enunciado pede que a gente marque com V as afirmativas verdadeiras e com F as falsas, e que corrija as falsas. As afirmativas são:
A) O domínio da função real f(x)=\sqrt{x^{2}-4}-\frac{1}{x+5} é dado por D(f)=\{x \in \mathbb{R} \mid x>2 ou x \neq -5\}.
B) Dada a função real f(x)=\frac{4 x+4}{7} podemos afirmar que f^{-1}(-4)=8.
C) O conjunto solução da inequação \left|\frac{2 x+1}{3-x}\right| \leq 1 é dado por S=\left[-\frac{1}{2}, 3[\right..
D) Se \lim_{x \rightarrow 5} f(x)=0 e \lim_{x \rightarrow 5} g(x)=0 então \lim_{x \rightarrow 5} \frac{f(x)}{g(x)} não existe.
E) Se \lim_{x \rightarrow p^{+}} f(x)=\lim_{x \rightarrow p^{-}} f(x) então f é contínua em x=p.
Agora vamos analisar cada uma, com explicações passo a passo e correções quando necessário.

Passo 2

Analisando a afirmativa A (domínio de f): quais são as restrições para x na função \displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}-4}-\frac{1}{x+5}?
  1. Para a raiz quadrada \sqrt{x^{2}-4} estar definida (no conjunto dos números reais) precisamos ter o radicando não negativo. Ou seja,
x^{2}-4 \ge 0.
Essa desigualdade significa |x|\ge 2, portanto
x\le -2 \quad\text{ou}\quad x\ge 2,
isto é o intervalo (-\infty,-2]\cup[2,\infty).
  1. Para o termo -\frac{1}{x+5} ser definido precisamos que o denominador não seja zero:
x+5 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad x \neq -5.
  1. Interseção das condições: o domínio é os x que satisfazem a condição da raiz e também não são -5. Como -5 pertence ao intervalo (-\infty,-2], devemos removê-lo dessa parte. Logo o domínio correto é
(-\infty,-2]\setminus\{-5\}\;\cup\;[2,\infty).
A afirmativa dada diz “ x>2 ou x\neq -5”, que é incorreta (essa descrição é confusa e, na prática, corresponde quase a todo \mathbb{R} exceto possivelmente -5, e ignora a parte x\le -2). Portanto A é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmativa B (inversa de f): temos \displaystyle f(x)=\frac{4x+4}{7}. O que significa f^{-1}(-4)? É o valor de x tal que f(x)=-4. Então resolvemos
\frac{4x+4}{7} = -4.
Multiplicando ambos os lados por 7:
4x+4 = -28.
Subtraindo 4:
4x = -32.
Dividindo por 4:
x = -8.
Portanto f^{-1}(-4)=-8, não 8. Outra forma, mais geral: a inversa f^{-1}(y) é obtida isolando x em y=\frac{4x+4}{7}, dando
x = \frac{7y-4}{4},
e para y=-4 obtemos \frac{7(-4)-4}{4} = \frac{-32}{4}=-8.
Logo B é falsa; correção: f^{-1}(-4)=-8.

Passo 4

Analisando a afirmativa C (inequação com valor absoluto): queremos resolver
\left|\frac{2x+1}{3-x}\right| \le 1,
lembrando que x\neq 3 (denominador nulo). Uma técnica direta é transformar isso em comparação de módulos:
\left|\frac{2x+1}{3-x}\right| \le 1 \quad\Longleftrightarrow\quad |2x+1| \le |3-x|.
Como ambos os lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado sem mudar a desigualdade:
(2x+1)^2 \le (3-x)^2.
Agora expandimos e resolvemos:
(2x+1)^2 = 4x^2+4x+1,
(3-x)^2 = 9 -6x + x^2.
Subtraindo o segundo do primeiro e levando tudo para um lado:
4x^2+4x+1 \le 9 -6x + x^2
\Rightarrow 4x^2+4x+1 -9 +6x - x^2 \le 0
\Rightarrow 3x^2 +10x -8 \le 0.
É uma quadrática. Calculamos o discriminante:
\Delta = 10^2 -4\cdot 3\cdot(-8) = 100 +96 =196,
\sqrt{\Delta}=14.
As raízes são
x = \frac{-10 \pm 14}{6}.
Isso dá as raízes x=-4 e x=\tfrac{2}{3}. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a inequação 3x^2+10x-8\le0 é satisfeita entre as raízes:
-4 \le x \le \tfrac{2}{3}.
Checamos a condição de existência: x\neq 3 — mas 3 não está nesse intervalo, então não há problema. Verificações rápidas nos extremos: em x=-4 e x=\tfrac{2}{3} a desigualdade é de igualdade (valor absoluto igual a 1), então os extremos entram.
Portanto a solução correta é
S = \left[-4,\;\tfrac{2}{3}\right].
A afirmativa original S=\left[-\tfrac{1}{2},3[\right. está errada. Logo C é falsa; correção dada acima.

Passo 5

Analisando a afirmativa D (limites e divisão): ela afirma que se \lim_{x\to 5} f(x)=0 e \lim_{x\to 5} g(x)=0 então \lim_{x\to 5} \frac{f(x)}{g(x)} não existe.
Comentário didático: quando as duas funções tendem a 0 ao mesmo ponto, a expressão \frac{f(x)}{g(x)} tem a forma indeterminada 0/0. “Indeterminado” significa que a informação não é suficiente para concluir; o limite pode existir (e ser finito), pode ser infinito, ou pode não existir. Não dá para afirmar automaticamente que o limite não existe.
Contraexemplo que prova a falsidade da afirmação: escolha f(x)=x-5 e g(x)=x-5. Então \lim_{x\to 5} f(x)=0, \lim_{x\to 5} g(x)=0, mas
\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x-5}{x-5} = 1\quad\text{(para }x\neq 5\text{)},
portanto \lim_{x\to 5}\frac{f(x)}{g(x)} = 1 existe. Outro exemplo onde o limite não existe: f(x)=x-5, g(x)=(x-5)^2 \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{x-5} que não tem limite finito quando x\to5.
Logo D é falsa. Correção: da hipótese \lim f=0 e \lim g=0 não podemos concluir que \lim f/g não existe; só podemos dizer que a expressão é uma forma indeterminada e precisa de análise adicional.

Passo 6

Analisando a afirmativa E (limites laterais iguais implicam continuidade): ela diz que se [\lim_{x\to p^+} f(x)=\lim_{x\to p^-} f(x)) então f é contínua em x=p.
Explicação didática: a igualdade das duas limites laterais significa que o limite \lim_{x\to p} f(x) existe (e vale o valor comum). Contudo, continuidade em x=p exige, além da existência do limite, que o valor da função no ponto seja igual a esse limite, isto é, que f(p)=\lim_{x\to p} f(x). Se f(p) for diferente do limite (ou se f não estiver definida em p), então f não é contínua em p.
Exemplo que mostra a afirmação falsa: defina
f(x)=\begin{cases} 0, & x\neq 0,\\[4pt] 1, & x=0. \end{cases}
Então \lim_{x\to 0^-} f(x)=0\] e \(\lim_{x\to 0^+} f(x)=0, logo os limites laterais são iguais (o limite total é 0), mas f(0)=1\neq 0, portanto f não é contínua em 0. Assim E é falsa.
Correção: se \lim_{x\to p^+} f(x)=\lim_{x\to p^-} f(x)=L e além disso f(p)=L, então f é contínua em p.]

Passo 7

Resumo final: marcamos V para verdadeiras e F para falsas e apresentamos as correções das falsas.

Resposta

A) F: D(f)=(-\infty,-2]\setminus\{-5\}\;\cup\;[2,\infty).\n
B) F: f^{-1}(-4)=-8.\n
C) F: S=\left[-4,\tfrac{2}{3}\right].\n
D) F: não se pode concluir que o limite \lim_{x\to5}\frac{f(x)}{g(x)} não existe — é uma forma indeterminada 0/0 que pode ou não ter limite.\n
E) F: igualdade dos limites laterais garante existência do limite, mas para continuidade é preciso ainda que f(p) seja igual a esse limite.

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