O enunciado apresenta a função f(x,y)=4y+4x+3 e afirma que o gráfico dessa função é um plano.
Informações dadas:
A função é f(x,y)=4y+4x+3.
Pergunta (que vamos responder): verificar se o gráfico de f é um plano e descrever esse plano (equação, vetores diretores / normal).
Passo 2
Definição e escrita do gráfico: o gráfico de uma função de duas variáveis f é o conjunto de pontos (x,y,z) em \mathbb{R}^3 tais que z=f(x,y). Aplicando ao nosso caso obtemos o conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=4x+4y+3\}.
Ou seja, cada ponto do gráfico satisfaz a equação z=4x+4y+3. Este é já um bom indício de que o gráfico é um objeto plano, porque é dado por uma equação linear entre x,y,z.
Passo 3
Reescrever a equação numa forma linear padrão de plano: podemos reorganizar z=4x+4y+3 como
-4x-4y+z=3.
Uma equação do tipo ax+by+cz=d com a,b,c,d constantes descreve um plano em \mathbb{R}^3. Portanto, como a equação acima é desse tipo, o conjunto do Passo 2 é um plano.
Passo 4
Encontrar um vetor normal ao plano: para um plano dado por ax+by+cz=d, o vetor normal é (a,b,c). Aplicando a nossa forma -4x-4y+z=3 obtemos o vetor normal
\mathbf{n}=(-4,-4,1).
Esse vetor é perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano.
Passo 5
Parametrização do plano (mostra que é afim e dá vetores diretores): qualquer ponto do gráfico pode ser escrito como
(x,y,z)=(x,y,4x+4y+3)=(0,0,3)+x(1,0,4)+y(0,1,4).
Daí vemos dois vetores diretores do plano: \mathbf{v}_1=(1,0,4) e \mathbf{v}_2=(0,1,4). Eles realmente estão no plano porque variando x e y deslocam pontos dentro do gráfico. Para conferir que \mathbf{n} é normal, podemos calcular o produto vetorial:
que coincide com \mathbf{n}. Tudo consistente: o gráfico é um plano.
Passo 6
Interpretação prática e regra geral para a prova (dica amiga): sempre que f(x,y)=ax+by+c (uma função afim em x,y), o gráfico é o plano de equação z=ax+by+c. Um vetor normal é (-a,-b,1) (ou (a,b,-1) dependendo de como você reorganiza a equação). Na prova, se você vir uma expressão linear em x,y, pode imediatamente escrever a equação do plano e indicar um vetor normal e uma parametrização como fizemos.
Resposta
Verdadeiro. O gráfico é o plano de equação \,z=4x+4y+3. Vetor normal: (-4,-4,1).