Um economista deseja estimar a renda média para o primeiro ano de trabalho de um bacharel em direito. Quantos valores de renda devem ser tomados, se o economista deseja ter 95 \% de confiança em que a média amostral esteja a menos de \mathrm{R} \ 500,00 da verdadeira média populacional? Suponha que saibamos, por um estudo prévio, que para tais rendas,éé\sigma=\mathrm{R} $6250,00$.
n=\frac{z_{\gamma}^{2} \sigma^{2}}{\varepsilon_{0}^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos:
  • O economista quer que a média amostral esteja a menos de \mathrm{R}\$\,500,00 da média populacional com 95\% de confiança. Então o erro máximo permitido (margem de erro) é \varepsilon_{0}=\mathrm{R}\$\,500.
  • Do estudo prévio sabemos que o desvio padrão populacional é \sigma=\mathrm{R}\$\,6250.
  • O nível de confiança é \gamma=95\%.
  • O enunciado já nos dá a fórmula para o tamanho da amostra:
n=\frac{z_{\gamma}^{2}\sigma^{2}}{\varepsilon_{0}^{2}}.
  • Nossa tarefa: calcular n numérico e decidir o arredondamento adequado (pois n deve ser um número inteiro de observações).

Passo 2

Entendendo a fórmula e de onde ela vem (aula rápida e passo a passo):
  • Quando conhecemos \sigma e queremos um intervalo de confiança para a média com nível \gamma, a margem de erro é dada por
\varepsilon_{0}=z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \varepsilon_{0} é a margem de erro desejada (distância máxima entre média amostral e média populacional),
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão correspondente ao nível de confiança (explico em seguida),
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido,
  • n é o tamanho da amostra (o que queremos achar).
  • Para isolar n resolvemos essa equação:
\varepsilon_{0}=z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\Rightarrow \sqrt{n}=z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}
\Rightarrow n=\left(z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\right)^{2}
que é a mesma forma da fórmula dada:
n=\frac{z_{\gamma}^{2}\sigma^{2}}{\varepsilon_{0}^{2}}.
  • Explicando z_{1-\alpha/2}: se o nível de confiança é \gamma, então \alpha=1-\gamma. Para intervalo bilateral, o quantil é z_{1-\alpha/2}. Por exemplo, para \gamma=0{,}95, teremos \alpha=0{,}05 e z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}975}.

Passo 3

Encontrando o valor crítico z_{1-\alpha/2} para 95\% de confiança:
  • Para \gamma=0{,}95 temos \alpha=0{,}05 e 1-\alpha/2=0{,}975.
  • O quantil padrão da normal para 0{,}975 é o conhecido valor
z_{0{,}975}\approx 1{,}96.
(Esse valor vem da tabela da normal padrão; é um número muito usado em estatística para 95\% de confiança.)

Passo 4

Substituindo os números na fórmula e calculando passo a passo:
  • Primeiro calcule o quociente \dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}}:
\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}=\frac{6250}{500}=12{,}5.
  • Agora eleve ao quadrado:
\left(\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\right)^{2}=(12{,}5)^{2}=156{,}25.
  • Calcule z^{2}:
z_{0{,}975}^{2}=(1{,}96)^{2}=3{,}8416.
  • Multiplicando:
n=z_{0{,}975}^{2}\cdot\left(\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\right)^{2}=3{,}8416\cdot 156{,}25=600{,}25.

Passo 5

Decisão sobre arredondamento e interpretação final:
  • O valor obtido \,n=600{,}25 não é um número inteiro. Como queremos garantir que a margem de erro seja no máximo \varepsilon_{0}, devemos arredondar para cima (pois arredondar para baixo poderia violar a condição).
  • Portanto tomamos n=\lceil 600{,}25\rceil = 601.
  • Interpretação prática: o pesquisador precisa coletar pelo menos \,601 valores de renda para ter 95\% de confiança de que a média amostral estará a menos de \mathrm{R}\$\,500,00 da média populacional.

Resposta

n=601

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