Um economista deseja estimar a renda média para o primeiro ano de trabalho de um bacharel em direito. Quantos valores de renda devem ser tomados, se o economista deseja ter
de confiança em que a média amostral esteja a menos de
500,00
\sigma=\mathrm{R} $6250,00$.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos:
- O economista quer que a média amostral esteja a menos de
da média populacional com de confiança. Então o erro máximo permitido (margem de erro) é . - Do estudo prévio sabemos que o desvio padrão populacional é
. - O nível de confiança é
- O enunciado já nos dá a fórmula para o tamanho da amostra:
- Nossa tarefa: calcular
numérico e decidir o arredondamento adequado (pois deve ser um número inteiro de observações).
Passo 2
Entendendo a fórmula e de onde ela vem (aula rápida e passo a passo):
- Quando conhecemos
e queremos um intervalo de confiança para a média com nível , a margem de erro é dada por
onde:
-
é a margem de erro desejada (distância máxima entre média amostral e média populacional), -
é o quantil da normal padrão correspondente ao nível de confiança (explico em seguida), -
é o desvio padrão populacional conhecido, -
é o tamanho da amostra (o que queremos achar). - Para isolar
resolvemos essa equação:
que é a mesma forma da fórmula dada:
- Explicando
: se o nível de confiança é , então . Para intervalo bilateral, o quantil é . Por exemplo, para , teremos e .
Passo 3
Encontrando o valor crítico
para
de confiança:
- Para
temos e . - O quantil padrão da normal para
é o conhecido valor
(Esse valor vem da tabela da normal padrão; é um número muito usado em estatística para
de confiança.)
Passo 4
Substituindo os números na fórmula e calculando passo a passo:
- Primeiro calcule o quociente
:
- Agora eleve ao quadrado:
- Calcule
:
- Multiplicando:
Passo 5
Decisão sobre arredondamento e interpretação final:
- O valor obtido
não é um número inteiro. Como queremos garantir que a margem de erro seja no máximo , devemos arredondar para cima (pois arredondar para baixo poderia violar a condição). - Portanto tomamos
. - Interpretação prática: o pesquisador precisa coletar pelo menos
valores de renda para ter de confiança de que a média amostral estará a menos de da média populacional.