Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
sumn=1^infty 2(47)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a série sumn=1^infty 2(47)^n e descobrir se ela converge ou diverge. Se convergir, também vamos encontrar o valor dela. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma sumn=0^infty ar^n, onde:
  • a é o primeiro termo.
  • r é a razão da série.
A grande sacada é que uma série geométrica converge (ou seja, soma a um valor finito) se e somente se o valor absoluto da razão for menor que 1 |r| < 1. Se essa condição for atendida, podemos calcular a soma usando a fórmula:
S = a1 - r

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa série:
sumn=1^infty 2(47)^n
Primeiro, note que a série começa em n=1 ao invés de n=0. Para facilitar, podemos reescrever a série começando em n=0:
sumn=1^infty 2(47)^n = 2 sumn=1^infty (47)^n = 2 ( sumn=0^infty (47)^n - 1 )
Aqui subtraímos 1 porque adicionamos o termo n=0, que vale 1, e a série original não tinha esse termo.

Passo 4

Agora, vamos identificar os valores de a e r na nossa série reescrita. Temos:
  • a = 1 (primeiro termo da série geométrica começando em n=0)
  • r = 47
Como |r| = |47| = 47 < 1, a série geométrica converge. Vamos calcular a soma da série geométrica:
sumn=0^infty (47)^n = 11 - 47 = 137 = 73

Passo 5

Agora, voltamos à nossa expressão original:
2 ( 73 - 1 ) = 2 ( 73 - 33 ) = 2 ( 43 ) = 83

Resposta

A série converge e seu valor é 83.

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