Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a série e descobrir se ela converge ou diverge. Se convergir, também vamos encontrar o valor dela. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma , onde:
é o primeiro termo.
é a razão da série.
A grande sacada é que uma série geométrica converge (ou seja, soma a um valor finito) se e somente se o valor absoluto da razão for menor que 1 . Se essa condição for atendida, podemos calcular a soma usando a fórmula:
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa série:
Primeiro, note que a série começa em ao invés de . Para facilitar, podemos reescrever a série começando em :
Aqui subtraímos 1 porque adicionamos o termo , que vale 1, e a série original não tinha esse termo.
Passo 4
Agora, vamos identificar os valores de e na nossa série reescrita. Temos:
(primeiro termo da série geométrica começando em )
Como , a série geométrica converge. Vamos calcular a soma da série geométrica: