Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f(x, y)=cos (x^2+3 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y) = cos(x^2 + 3y) . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais. Para isso, vamos usar regras básicas de derivação como a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, fx e fy .
Derivada parcial em relação a x ( fx ):
A gente trata y como uma constante quando deriva em relação a x .
fx = partialpartial x cos(x^2 + 3y) = -sin(x^2 + 3y) cdot partialpartial x(x^2 + 3y)
Derivando x^2 + 3y em relação a x :
partialpartial x(x^2 + 3y) = 2x
Então,
fx = -sin(x^2 + 3y) cdot 2x = -2x sin(x^2 + 3y)
Derivada parcial em relação a y ( fy ):
Agora, tratamos x como uma constante.
fy = partialpartial y cos(x^2 + 3y) = -sin(x^2 + 3y) cdot partialpartial y(x^2 + 3y)
Derivando x^2 + 3y em relação a y :
partialpartial y(x^2 + 3y) = 3
Então,
fy = -sin(x^2 + 3y) cdot 3 = -3 sin(x^2 + 3y)

Passo 3

Agora que temos fx e fy , vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem: fxx , fxy , fyx e fyy .
Derivada parcial segunda em relação a x ( fxx ):
Vamos derivar fx = -2x sin(x^2 + 3y) em relação a x .
fxx = partialpartial x (-2x sin(x^2 + 3y))
Usando a regra do produto:
fxx = -2 sin(x^2 + 3y) + (-2x) cdot cos(x^2 + 3y) cdot 2x
Simplificando:
fxx = -2 sin(x^2 + 3y) - 4x^2 cos(x^2 + 3y)
Derivada parcial mista em relação a x e y ( fxy ):
Vamos derivar fx = -2x sin(x^2 + 3y) em relação a y .
fxy = partialpartial y (-2x sin(x^2 + 3y)) = -2x cos(x^2 + 3y) cdot 3
Simplificando:
fxy = -6x cos(x^2 + 3y)
Derivada parcial mista em relação a y e x ( fyx ):
De forma similar, derivando fy = -3 sin(x^2 + 3y) em relação a x :
fyx = partialpartial x (-3 sin(x^2 + 3y)) = -3 cos(x^2 + 3y) cdot 2x
Simplificando:
fyx = -6x cos(x^2 + 3y)
Derivada parcial segunda em relação a y ( fyy ):
Vamos derivar fy = -3 sin(x^2 + 3y) em relação a y .
fyy = partialpartial y (-3 sin(x^2 + 3y)) = -3 cos(x^2 + 3y) cdot 3
Simplificando:
fyy = -9 cos(x^2 + 3y)

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y) = cos(x^2 + 3y) são:
fxx = -2 sin(x^2 + 3y) - 4x^2 cos(x^2 + 3y)
fxy = fyx = -6x cos(x^2 + 3y)
fyy = -9 cos(x^2 + 3y)

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