Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais. Para isso, vamos usar regras básicas de derivação como a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
.
Derivada parcial em relação a
(
):
A gente trata
como uma constante quando deriva em relação a
.
Derivando
em relação a
:
Então,
Derivada parcial em relação a
(
):
Agora, tratamos
como uma constante.
Derivando
em relação a
:
Então,
Passo 3
Agora que temos
e
, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
,
,
e
.
Derivada parcial segunda em relação a
(
):
Vamos derivar
em relação a
.
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Derivada parcial mista em relação a
e
(
):
Vamos derivar
em relação a
.
Simplificando:
Derivada parcial mista em relação a
e
(
):
De forma similar, derivando
em relação a
:
Simplificando:
Derivada parcial segunda em relação a
(
):
Vamos derivar
em relação a
.
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: