Seja f(x, y)=x^2 y+sin (x y).
Use a linearização para estimar o valor de f(1.1,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a linearização para estimar o valor de f(1.1, 3) , onde a função é f(x, y) = x^2 y + sin(x y) . A matéria aqui envolve cálculo de derivadas parciais e aproximações lineares. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y e usar a fórmula da linearização.

Passo 2

Primeiro, escolhemos um ponto próximo ao ponto que queremos estimar. Vamos usar (a, b) = (1, 3) porque 1.1 está bem perto de 1 . Assim, a = 1 e b = 3 .

Passo 3

Vamos calcular o valor de f nesse ponto (1, 3) :
f(1, 3) = (1)^2 times 3 + sin(1 times 3) = 3 + sin(3)
Sabendo que sin(3) é aproximadamente 0.1411 (em radianos):
f(1, 3) approx 3 + 0.1411 = 3.1411

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y .
Primeiro, a derivada parcial em relação a x :
fx(x, y) = partialpartial x(x^2 y + sin(x y)) = 2x y + y cos(x y)
Em (1, 3) :
fx(1, 3) = 2 times 1 times 3 + 3 cos(3) = 6 + 3 times (-0.98999) approx 6 - 2.97 = 3.03
Agora, a derivada parcial em relação a y :
fy(x, y) = partialpartial y(x^2 y + sin(x y)) = x^2 + x cos(x y)
Em (1, 3) :
fy(1, 3) = (1)^2 + 1 times cos(3) = 1 + (-0.98999) approx 0.0101

Passo 5

Com as derivadas calculadas, a fórmula da linearização em (a, b) é:
L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Substituindo os valores que temos:
L(x, y) = 3.1411 + 3.03(x - 1) + 0.0101(y - 3)

Passo 6

Como queremos estimar f(1.1, 3) , substituímos x = 1.1 e y = 3 na equação da linearização:
L(1.1, 3) = 3.1411 + 3.03(1.1 - 1) + 0.0101(3 - 3) = 3.1411 + 3.03(0.1) + 0 = 3.1411 + 0.303 = 3.4441

Resposta

A estimativa do valor de f(1.1, 3) usando a linearização é aproximadamente 3.4441.

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