Seja f(x, y)=x^2 y+sin (x y).
Encontre a linearização L(x, y) de f(x, y) no ponto (1, pi).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a linearização da função f(x, y) = x^2 y + sin(x y) no ponto (1, pi) . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a equação da reta tangente (ou plano tangente) para aproximar a função perto desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto (1, pi) . Substituindo x = 1 e y = pi na função:
f(1, pi) = (1)^2 cdot pi + sin(1 cdot pi) = pi + sin(pi)
Sabemos que sin(pi) = 0 , então:
f(1, pi) = pi + 0 = pi

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y .
Primeiro, a derivada parcial em relação a x :
fx(x, y) = partialpartial x ( x^2 y + sin(x y) ) = 2x y + y cos(x y)
Agora, avaliando em (1, pi) :
fx(1, pi) = 2 cdot 1 cdot pi + pi cos(1 cdot pi) = 2pi + pi cos(pi)
Sabendo que cos(pi) = -1 :
fx(1, pi) = 2pi + pi (-1) = 2pi - pi = pi

Passo 4

Agora, a derivada parcial em relação a y :
fy(x, y) = partialpartial y ( x^2 y + sin(x y) ) = x^2 + x cos(x y)
Avaliando em (1, pi) :
fy(1, pi) = (1)^2 + 1 cdot cos(1 cdot pi) = 1 + cos(pi)
Sabendo que cos(pi) = -1 :
fy(1, pi) = 1 + (-1) = 0

Passo 5

Com esses valores, podemos montar a equação da linearização L(x, y) usando a fórmula:
L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Onde (a, b) = (1, pi) . Substituindo:
L(x, y) = pi + pi (x - 1) + 0 (y - pi)
Simplificando:
L(x, y) = pi + pi (x - 1)

Resposta

A linearização de f(x, y) no ponto (1, pi) é:
L(x, y) = pi (x)

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