Encontre a solução geral de cada equação:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem cinco com coeficientes constantes. A equação diferencial dada é
O conteúdo aqui é o método do polinômio característico, em que assumimos soluções do tipo
.
Passo 2
Substituindo
na equação, obtemos o polinômio característico
Passo 3
Colocando
em evidência, fatoramos
Daí vem duas raízes iguais a zero:
Passo 4
Para achar as raízes do cúbico
, usamos o Teorema das Raízes Racionais. Testando
vemos que zera o polinômio. Fazendo a divisão sintética:
coeficientes com raiz
deixam como quociente
coeficientes
Dividindo tudo por 2 e resolvendo a equação quadrática,
Passo 5
Reunindo todas as raízes:
-
(multiplicidade 2) -
-
a solução geral é
onde
são constantes arbitrárias.