Encontre a solução geral de cada equação:
2 d^5 xd s^5-7 d^4 xd s^4+12 d^3 xd s^3+8 d^2 xd s^2=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem cinco com coeficientes constantes. A equação diferencial dada é
2 d^5xds^5 - 7d^4xds^4 + 12d^3xds^3 + 8d^2xds^2 = 0
O conteúdo aqui é o método do polinômio característico, em que assumimos soluções do tipo exp(r s).

Passo 2

Substituindo x(s)=e^r s na equação, obtemos o polinômio característico
2r^5 -7r^4 +12r^3 +8r^2 = 0

Passo 3

Colocando r^2 em evidência, fatoramos
r^2l(2r^3 -7r^2 +12r +8r)=0
Daí vem duas raízes iguais a zero:
r=0(mu<iplicidade 2)

Passo 4

Para achar as raízes do cúbico 2r^3 -7r^2 +12r +8=0, usamos o Teorema das Raízes Racionais. Testando r=-tfrac12 vemos que zera o polinômio. Fazendo a divisão sintética:
coeficientes 2,,-7,,12,,8 com raiz -tfrac12 deixam como quociente
2r^2 -8r +16=0
Dividindo tudo por 2 e resolvendo a equação quadrática,
r^2 -4r +8=0 Longrightarrow r = 4pmraiz16-322 = 2pm2i

Passo 5

Reunindo todas as raízes:
  • r=0 (multiplicidade 2)
  • r=-tfrac12
  • r=2pm2i
a solução geral é
x(s)=C1 + C2,s + C3,e^-s2 + e^2sl(C4cos(2s)+C5sin(2s)r),
onde C1,C2,C3,C4,C5 são constantes arbitrárias.

Resposta

x(s)=C1 + C2,s + C3,e^-s2 + e^2sl(C4cos(2s)+C5sin(2s)r)

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