Associe os conjuntos A abaixo ao subespaços de V gerados por ele.
a x^3+b x^2+c x+d mid b=5 a+3 c e d=11 a+8 c

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial dos polinômios de grau e o subconjunto
Queremos encontrar o subespaço de gerado por , ou seja, um sistema de geradores (base) de .

Passo 2

Note que em cada polinômio de A as incógnitas livres são a e c, pois b e d estão expressos em função de a e c. Assim escrevemos
b = 5a + 3c, d = 11a + 8c
Logo, o polinômio genérico de A é
p(x) = a x^3 + (5a+3c)x^2 + c x + (11a+8c)

Passo 3

Reagrupando os termos em função de a e c, obtemos
p(x) = al(x^3 + 5x^2 + 11r) + cl(3x^2 + x + 8r)
Isto mostra que qualquer elemento de A é combinação linear dos polinômios
p1(x) = x^3 + 5x^2 + 11, p2(x) = 3x^2 + x + 8

Passo 4

Como e são parâmetros livres, concluímos que
Portanto é um sistema gerador de e, desde que sejam linearmente independentes, forma uma base desse subespaço de dimensão .

Resposta

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