Consideremos no espaço P2=a t^2+b t+c mid a, b, c in R os vetores p1=t^2-2 t+1, p2=t+2 e p3=2 t^2-t. Então o subespaço de P2 gerado por p2 e p3, é:
S=a t^2+b t+c in P2 mid a+2 b+c=0

Passo 1

O enunciado está em P2=a,t^2+b,t+cmid a,b,cinR e pede para descrever o subespaço gerado pelos vetores
p2(t)=t+2, p3(t)=2t^2-t
Para isso vamos usar combinação linear e obter uma condição que caracteriza exatamente esse subespaço.

Passo 2

Seja um polinômio genérico da forma
alpha,p2(t)+beta,p3(t) =alpha,(t+2)+beta,(2t^2-t)
Vamos escrever isso como a,t^2+b,t+c. Distribuindo, obtemos
alpha,p2(t)+beta,p3(t) =2beta,t^2+(alpha-beta),t+2alpha

Passo 3

Comparando com a,t^2+b,t+c, identificamos
a=2beta, b=alpha-beta, c=2alpha
Agora basta eliminar alpha e beta para achar a relação entre a,b,c.

Passo 4

Da primeira e da última igualdade temos
beta=a2, alpha=c2
Substituindo em b=alpha-beta
b=c2-a2 Longrightarrow 2b=c-a Longrightarrow a+2b-c=0

Passo 5

Mostramos que todo vetor da forma alpha,p2+beta,p3 satisfaz a+2b-c=0.
Para ver que nenhum outro polinômio além desses entra no span, notamos que de a+2b-c=0 podemos resolver
alpha=tfrac c2 e beta=tfrac a2, gerando exatamente alpha,p2+beta,p3.

Resposta

O subespaço de P2 gerado por p2 e p3 é
S=la,t^2+b,t+cin P2mid a+2b-c=0r

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