Marque qual subconjunto de V não é subespaço vetorial de V.
V=R^3, S=(x, y, z) mid x y=0

Passo 1

O enunciado pega o espaço vetorial V = R^3 e define
S = (x,y,z)inR^3 mid x,y = 0
Queremos ver se S é subespaço vetorial de V. Para isso, usamos o critério:
  1. Sneqvarnothing;
  2. se u,vin S então u+vin S;
  3. se uin S e lambdainR então lambda uin S.

Passo 2

Verificamos primeiro que o vetor nulo (0,0,0) pertence a S pois
0cdot 0 = 0,
logo S não é vazio e contém o zero.

Passo 3

Agora testamos a fechadura por adição. Tomemos
u = (1,0,0), v = (0,1,0)
Ambos satisfazem x,y=0 (pois 1cdot0=0 e 0cdot1=0), então u,vin S. Mas
u+v = (1,1,0)
tem 1cdot1 = 1neq 0, ou seja u+vnotin S. Portanto S não é fechado sob adição.

Passo 4

Como falha a condição de fechadura sob soma, concluímos que S não pode ser subespaço vetorial, mesmo sem checar a multiplicação por escalar.

Resposta

S não é subespaço vetorial de R^3.

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