Assuma que
. Seja
, e seja
a área da superfície da região obtida pela rotação em torno do eixo
do gráfico de
com
. Mostre que
. (Assim, para este caso particular, vemos que a área da superfície depende apenas do comprimento do intervalo
e não da sua localização como subintervalo de
.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva de f(x)=
em torno do eixo x, para x variando de a até b, dentro de (-1,1). O conteúdo é área de superfície de revolução e vamos usar a fórmula que envolve f(x) e sua derivada f’(x).
Passo 2
Para uma função f(x), a área da superfície de revolução em torno do eixo x, de x=a até x=b, é dada por
Passo 3
Calculamos a derivada de f(x)=
. Usando regra da cadeia, obtemos
Passo 4
Agora, dentro da raiz da fórmula, fazemos
Passo 5
Logo,
Substituindo em S, o integrando fica:
Passo 6
Dessa forma, o integral simplifica para
Resposta
S=2\pi(b-a)