Assuma que [a, b] subset(-1,1). Seja f(x)=raiz1-x^2, e seja S a área da superfície da região obtida pela rotação em torno do eixo x do gráfico de f com a <= x <= b. Mostre que S=2 pi(b-a). (Assim, para este caso particular, vemos que a área da superfície depende apenas do comprimento do intervalo [a, b] e não da sua localização como subintervalo de (-1,1)).

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva de f(x)= raiz1-x^2 em torno do eixo x, para x variando de a até b, dentro de (-1,1). O conteúdo é área de superfície de revolução e vamos usar a fórmula que envolve f(x) e sua derivada f’(x).

Passo 2

Para uma função f(x), a área da superfície de revolução em torno do eixo x, de x=a até x=b, é dada por
S=integrala^b2pi,f(x),raiz1+l(f'(x)r)^2,dx

Passo 3

Calculamos a derivada de f(x)= raiz1-x^2. Usando regra da cadeia, obtemos
f'(x)=ddxl(1-x^2r)^1/2=12(1-x^2)^-1/2cdot(-2x)=-xraiz1-x^2

Passo 4

Agora, dentro da raiz da fórmula, fazemos
1+l(f'(x)r)^2=1+x^21-x^2=1-x^2+x^21-x^2=11-x^2

Passo 5

Logo,
raiz1+l(f'(x)r)^2=1raiz1-x^2
Substituindo em S, o integrando fica:
2pi,f(x),raiz1+l(f'(x)r)^2=2pi,raiz1-x^2times1raiz1-x^2=2pi

Passo 6

Dessa forma, o integral simplifica para
S=integrala^b2pi,dx=2pil[xr]a^b=2pi(b-a)

Resposta

S=2\pi(b-a)

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