Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação linear de segunda ordem não‐homogênea
portanto vamos precisar achar primeiro a solução complementar (da homogênea) e depois uma solução particular. Para a homogênea usaremos equação característica; para a parte particular vamos usar variação de parâmetros.
Passo 2
A parte homogênea é
A equação característica é
cuja solução é
Logo a solução complementar é
Passo 3
Escolhendo as soluções fundamentais
vamos aplicar variação de parâmetros. Precisamos do Wronskiano
Passo 4
As fórmulas de variação de parâmetros nos dizem que
onde . Calculamos:
Integramos:
Passo 5
A solução particular é
yp = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x)
Ignorando as constantes de integração (elas se incorporam a C1,C2), obtemos