Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
y^prime prime+2 y^prime+5 y=e^-x sec 2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear de segunda ordem não‐homogênea
y'' + 2y' + 5y = e^-xsec2x,
portanto vamos precisar achar primeiro a solução complementar (da homogênea) e depois uma solução particular. Para a homogênea usaremos equação característica; para a parte particular vamos usar variação de parâmetros.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 2y' + 5y = 0
A equação característica é
r^2 + 2r + 5 = 0,
cuja solução é
r = -1 pm 2i
Logo a solução complementar é
yc(x) = e^-xl(C1cos2x + C2sin2xr)

Passo 3

Escolhendo as soluções fundamen­tais
y1 = e^-xcos2x, y2 = e^-xsin2x,
vamos aplicar variação de parâmetros. Precisamos do Wronskiano
W = y1y2' - y1'y2 = 2e^-2x

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros nos dizem que
u1'(x) = -y2(x),g(x)W(x), u2'(x) = y1(x),g(x)W(x),
onde g(x)=e^-xsec2x. Calculamos:
y2gW = e^-xsin2xcdot e^-xsec2x2e^-2x = tan2x2,
y1gW = e^-xcos2xcdot e^-xsec2x2e^-2x = 12
Integramos:
u1 = integral 12,dx = x2 + K1,
u2 = integral tan2x2,dx = -14lnl|cos2xr| + K2

Passo 5

A solução particular é
yp = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x)
Ignorando as constantes de integração (elas se incorporam a C1,C2), obtemos
yp = x2e^-xcos2x + l(-14ln|cos2x|r)e^-xsin2x
Reescrevendo de forma mais comum:
yp = e^-xl( x2sin2x + 14cos2xln|cos2x|r)
Portanto a solução geral é a soma de yc e yp.

Resposta

y(x) = e^-xl(C1cos2x + C2sin2x + x2sin2x + 14cos2xlnl|cos2xr|r)

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