Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
y^prime prime-2 y^prime=12 x-10

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea y''-2y'=12x-10. O conteúdo necessário inclui a resolução da equação homogênea associada e o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular.

Passo 2

Para resolver a parte homogênea, escrevemos a equação característica de y''-2y'=0:
r^2-2r=0
que tem raízes r=0 e r=2. Então a solução geral da homogênea é
yh(x)=C1e^0x+C2e^2x=C1+C2e^2x

Passo 3

Para encontrar uma solução particular yp(x) de y''-2y'=12x-10, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 1, faríamos um palpite Ax+B. Mas como r=0 é raiz da característica, multiplicamos por x. Assim escolhemos:
yp(x)=Ax^2+Bx

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp'(x)=2Ax+B,
yp''(x)=2A
Substituindo em y''-2y'=12x-10 temos
2A-2(2Ax+B)=-4Ax+2A-2B
que deve ser igual a 12x-10. Igualando coeficientes:
Para x: -4A=12 A=-3.
Para termo constante: 2A-2B=-10 2(-3)-2B=-10 -6-2B=-10 B=2.
Então
yp(x)=-3x^2+2x

Passo 5

Finalmente, a solução geral da equação é a soma de yh e yp:
y(x)=C1+C2e^2x-3x^2+2x

Resposta

y(x)=C1+C2e^2x-3x^2+2x

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