Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
. O conteúdo necessário inclui a resolução da equação homogênea associada e o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular.
Passo 2
Para resolver a parte homogênea, escrevemos a equação característica de
:
que tem raízes
e
. Então a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para encontrar uma solução particular
de
, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 1, faríamos um palpite
. Mas como
é raiz da característica, multiplicamos por
. Assim escolhemos:
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
temos
que deve ser igual a
. Igualando coeficientes:
Para :
⟹
.
Para termo constante: ⟹
⟹
⟹
.
Então
Para
Para termo constante:
Então
Passo 5
Finalmente, a solução geral da equação é a soma de
e
: