Assuma que D é uma região do plano. Sejam \gamma_{1} e \gamma_{2} curvas suaves fechadas em D ambas orientadas no sentido anti-horário. Suponha que \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial M}{\partial y} em D. Use o teorema de Green para mostrar que
\int_{\gamma_{1}} M(x, y) d x+N(x, y) d y=\int_{\gamma_{2}} M(x, y) d x+N(x, y) d y

Passo 1

O enunciado dá uma região D do plano e duas curvas suaves fechadas \gamma_{1} e \gamma_{2}, ambas orientadas no sentido anti-horário e contidas em D. As funções M(x,y) e N(x,y) satisfazem
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial M}{\partial y}
em toda D. Queremos mostrar que
\int_{\gamma_{1}}M\,dx+N\,dy \;=\;\int_{\gamma_{2}}M\,dx+N\,dy.

Passo 2

Considere a região R\subset D limitada por \gamma_{1} externamente e por \gamma_{2} internamente. A fronteira orientada de R é
\partial R = \gamma_{1}\;+\;(-\gamma_{2}),
isto é, percorremos \gamma_{1} no sentido anti-horário e \gamma_{2} no sentido horário. Aplicando o Teorema de Green em R, temos
\int_{\partial R}M\,dx+N\,dy =\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Como \tfrac{\partial N}{\partial x}-\tfrac{\partial M}{\partial y}=0, segue
\int_{\partial R}M\,dx+N\,dy=0.

Passo 3

Por definição de \partial R,
0 =\int_{\partial R}M\,dx+N\,dy =\int_{\gamma_{1}}M\,dx+N\,dy \;+\;\int_{-\gamma_{2}}M\,dx+N\,dy.
Mas \displaystyle\int_{-\gamma_{2}}M\,dx+N\,dy=-\int_{\gamma_{2}}M\,dx+N\,dy. Logo
\int_{\gamma_{1}}M\,dx+N\,dy \;-\;\int_{\gamma_{2}}M\,dx+N\,dy=0 \quad\Longrightarrow\quad \int_{\gamma_{1}}M\,dx+N\,dy = \int_{\gamma_{2}}M\,dx+N\,dy.

Resposta

\displaystyle \int_{\gamma_{1}}M\,dx+N\,dy = \int_{\gamma_{2}}M\,dx+N\,dy

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