Assuma que
é uma região do plano. Sejam
e
curvas suaves fechadas em
ambas orientadas no sentido anti-horário. Suponha que
em
. Use o teorema de Green para mostrar que
Passo 1
O enunciado dá uma região
do plano e duas curvas suaves fechadas
e
, ambas orientadas no sentido anti-horário e contidas em
. As funções
e
satisfazem
em toda
. Queremos mostrar que
Passo 2
Considere a região
limitada por
externamente e por
internamente. A fronteira orientada de
é
isto é, percorremos
no sentido anti-horário e
no sentido horário. Aplicando o Teorema de Green em
, temos
Como
, segue
Passo 3
Por definição de
,
Mas
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