Nos exercícios a seguir use o teorema de Green para encontrar a área da região dada.
A região limitada pelo eixo y, a linha y=\frac{1}{4} e a curva parametrizada por \vec{r}(t)=\sin \pi t \vec{i}+t(1- t) \vec{j} com 0 \leq t \leq \frac{1}{2}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a área da região R limitada pelo eixo y (isto é, x=0), pela reta horizontal y=\tfrac14 e pela curva \vec r(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr), onde
x(t)=\sin(\pi t),\quad y(t)=t(1-t), \quad 0\le t\le\tfrac12.
O conteúdo usado será o Teorema de Green na forma da fórmula de área
A=\frac12\oint_{C}\bigl(x\,dy - y\,dx\bigr),
onde C é o contorno de R orientado positivamente (anti-horário).

Passo 2

Descriçãoda fronteira C em três pedaços:
  1. C_1: a curva parametrizada \vec r(t), t\in[0,\tfrac12], do ponto (0,0) até (1,\tfrac14).
  2. C_2: a reta horizontal de (1,\tfrac14) até (0,\tfrac14).
  3. C_3: o eixo y de (0,\tfrac14) até (0,0).
Em cada trecho calculamos \int(x\,dy - y\,dx) e somamos.

Passo 3

Integral em C_1. Temos
x=\sin(\pi t),\quad y=t(1-t), \quad dx=\pi\cos(\pi t)\,dt,\quad dy=(1-2t)\,dt.
Então
\int_{C_1}(x\,dy - y\,dx) =\int_{0}^{1/2}\Bigl[\sin(\pi t)(1-2t)-\pi\,t(1-t)\cos(\pi t)\Bigr]dt.
Calculando por partes e somando, obtém-se
\int_{C_1}(x\,dy - y\,dx) =\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi^2}-\frac14.

Passo 4

Integral em C_2. Parametrizamos por x=u de 1\to0, y=\tfrac14 fixo, então dy=0, dx=du, e
\int_{C_2}(x\,dy - y\,dx) =\int_{1}^{0}\Bigl(0-\tfrac14\,du\Bigr) =\tfrac14.
Integral em C_3. Aqui x=0, dx=0, logo
\int_{C_3}(x\,dy - y\,dx)=0.

Passo 5

Somando os três trechos,
\oint_C(x\,dy - y\,dx) =\Bigl(\tfrac{2}{\pi}-\tfrac{4}{\pi^2}-\tfrac14\Bigr) +\tfrac14+0 =\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi^2}.
Pela fórmula da área,
A=\frac12\Bigl(\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi^2}\Bigr) =\frac{1}{\pi}-\frac{2}{\pi^2} =\frac{\pi-2}{\pi^2}.

Resposta

A=\frac{\pi-2}{\pi^2}.

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