Nos exercícios a seguir use o teorema de Green para encontrar a área da região dada.
A região limitada pelo eixo
, a linha
e a curva parametrizada por
t)
com
.
A região limitada pelo eixo
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos a área da região
limitada pelo eixo
(isto é,
), pela reta horizontal
e pela curva
, onde
O conteúdo usado será o Teorema de Green na forma da fórmula de área
onde
é o contorno de
orientado positivamente (anti-horário).
Passo 2
Descriçãoda fronteira
em três pedaços:
-
: a curva parametrizada , , do ponto até . -
: a reta horizontal de até . -
: o eixo de até .
Em cada trecho calculamos
e somamos.
Passo 3
Integral em
. Temos
Então
Calculando por partes e somando, obtém-se
Passo 4
Integral em
. Parametrizamos por
de
,
fixo, então
,
, e
Integral em
. Aqui
,
, logo
Passo 5
Somando os três trechos,
Pela fórmula da área,