(a) Seja \gamma o segmento de reta no plano unindo os pontos \left(x_{1}, y_{1}\right) e \left(x_{2}, y_{2}\right). Mostre que
\frac{1}{2} \int_{\gamma} x d y-y d x=\frac{1}{2}\left(x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right)
(b) Considere um polígono orientado no sentido anti-horário cujos vértices são \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \ldots,\left(x_{n}, y_{n}\right). Usando a parte (a) mostre que a área do polígono é dada por
\begin{aligned} A= & \frac{1}{2}\left(x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right)+\frac{1}{2}\left(x_{2} y_{3}-x_{3} y_{2}\right)+\ldots+\\\ & +\frac{1}{2}\left(x_{n-1} y_{n}-x_{n} y_{n-1}\right)+\frac{1}{2}\left(x_{n} y_{1}-x_{1} y_{n}\right) \end{aligned}
(c) Encontre a área do quadrilátero com vértices (0,0),(1,0),(2,3),(-1,1).
Res.: (c) 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\frac12\int_{\gamma} x\,dy - y\,dx
quando \gamma é o segmento de reta de \bigl(x_{1},y_{1}\bigr) até \bigl(x_{2},y_{2}\bigr), e em seguida usar esse resultado para obter a fórmula da área de um polígono orientado no sentido anti-horário (shoelace) e, por fim, aplicar ao quadrilátero de vértices (0,0),(1,0),(2,3),(-1,1). Vamos precisar de parametrização de reta, da definição de integral de linha e da soma sobre os lados do polígono.

Passo 2

Parametrizamos \gamma por
x(t) = x_{1} + t\,(x_{2}-x_{1}),\quad y(t) = y_{1} + t\,(y_{2}-y_{1}),\qquad 0\le t\le1.
Então
dx = (x_{2}-x_{1})\,dt,\quad dy = (y_{2}-y_{1})\,dt,
e o integrando fica
x\,dy - y\,dx = \bigl(x_{1}+t(x_{2}-x_{1})\bigr)(y_{2}-y_{1})\,dt - \bigl(y_{1}+t(y_{2}-y_{1})\bigr)(x_{2}-x_{1})\,dt.
Ao expandir, os termos em t se cancelam e sobra
(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\,dt.
Logo
\frac12\int_{0}^{1}\bigl(x\,dy - y\,dx\bigr) =\frac12\int_{0}^{1}(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\,dt =\frac12\,(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}).

Passo 3

Num polígono simples com vértices \bigl(x_{1},y_{1}\bigr),\dots,\bigl(x_{n},y_{n}\bigr) e voltado anti-horário, dividimos a fronteira em segmentos \gamma_{i} de (x_{i},y_{i}) a (x_{i+1},y_{i+1}), tomando (x_{n+1},y_{n+1})=(x_{1},y_{1}). Pela parte (a), cada lado contribui com
\frac12\,(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),
então a área é
A=\sum_{i=1}^{n}\frac12\,(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),
que é exatamente a fórmula do shoelace.

Passo 4

Aplicando ao quadrilátero cujos vértices seguem em ordem anti-horária
(0,0)\to(1,0)\to(2,3)\to(-1,1)\to(0,0), calculamos cada termo
\begin{aligned} &(0\cdot0 - 1\cdot0)=0,\\\ &(1\cdot3 - 2\cdot0)=3,\\\ &(2\cdot1 - (-1)\cdot3)=2+3=5,\\\ &(-1\cdot0 - 0\cdot1)=0, \end{aligned}
e somando dá 0+3+5+0=8. Portanto
A=\frac12\cdot8=4.

Resposta

A área do quadrilátero é 4.

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