(a) Seja
o segmento de reta no plano unindo os pontos
e
. Mostre que
(b) Considere um polígono orientado no sentido anti-horário cujos vértices são
. Usando a parte (a) mostre que a área do polígono é dada por
(c) Encontre a área do quadrilátero com vértices
.
Res.: (c) 4
Res.: (c) 4
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
quando
é o segmento de reta de
até
, e em seguida usar esse resultado para obter a fórmula da área de um polígono orientado no sentido anti-horário (shoelace) e, por fim, aplicar ao quadrilátero de vértices
. Vamos precisar de parametrização de reta, da definição de integral de linha e da soma sobre os lados do polígono.
Passo 2
Parametrizamos
por
Então
e o integrando fica
Ao expandir, os termos em
se cancelam e sobra
Logo
Passo 3
Num polígono simples com vértices
e voltado anti-horário, dividimos a fronteira em segmentos
de
a
, tomando
. Pela parte (a), cada lado contribui com
então a área é
que é exatamente a fórmula do shoelace.
Passo 4
Aplicando ao quadrilátero cujos vértices seguem em ordem anti-horária
, calculamos cada termo
e somando dá
. Portanto
Resposta
A área do quadrilátero é
.