Sejam
(a) Verifique que
onde
é a região limitada pelos círculos:
orientado no sentido anti-horário e
orientado no sentido horário.
(b) Mostre que
onde
é o disco cuja borda é o círculo
1.
(c) O resultado em (b) viola o teorema de Green? Explique.
Res.: Não viola
(b) Mostre que
(c) O resultado em (b) viola o teorema de Green? Explique.
Res.: Não viola
Passo 1
O enunciado define o campo vetorial
e pede:
(a) verificar que em anelar (entre os círculos de raios 1 e 2, com contorno externo no sentido anti-horário e interno no sentido horário) vale
(a) verificar que em
(b) mostrar que no disco interior ao círculo de raio 1 essa igualdade falha.
(c) discutir se isso viola o teorema de Green.
(c) discutir se isso viola o teorema de Green.
Passo 2
Calculemos o “rotor” escalar do campo:
logo
Passo 3
Para qualquer círculo de raio
parametrizado por
temos
e
Portanto, o integral ao longo do círculo
no sentido anti-horário é
Passo 4
(a) No anel entre
e
, o contorno
é a união do círculo externo (raio 2, sentido anti-horário) e do círculo interno (raio 1, sentido horário). Assim,
Como o “rotor” é zero em toda
, o integrando duplo também é zero, e portanto
Logo a igualdade de Green vale em (a).
Passo 5
(b) Se
é o disco de raio 1, seu contorno
é apenas o círculo
orientado anti-horário. Pelo cálculo do passo 3,
enquanto
Portanto
Passo 6
(c) Isso não viola o teorema de Green, pois uma das hipóteses do teorema exige que
e
sejam continuamente diferenciáveis em uma região que contenha
e sua borda. Aqui o campo tem singularidade em
, interior ao disco de raio 1, portanto a condição de regularidade falha e o teorema não se aplica.
Resposta
(a) A igualdade vale porque o rotor é zero e os contornos externo e interno contribuem com
e
, totalizando
.
(b) No disco de raio 1 o integral de linha dá enquanto o integral duplo dá
, logo não coincidem.
(c) Não viola o teorema de Green, pois o campo não é em todo o disco (singular em
).
(b) No disco de raio 1 o integral de linha dá
(c) Não viola o teorema de Green, pois o campo não é