Sejam
M(x, y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \quad N(x, y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}
(a) Verifique que
\int_{\gamma} M(x, y) d x+N(x, y) d y=\int_{D} d A\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) onde D é a região limitada pelos círculos: x^{2}+y^{2}=4 orientado no sentido anti-horário e x^{2}+y^{2}=1 orientado no sentido horário.
(b) Mostre que
\int_{\gamma} M(x, y) d x+N(x, y) d y \neq \int_{D} d A\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) onde D é o disco cuja borda é o círculo x^{2}+y^{2}= 1.
(c) O resultado em (b) viola o teorema de Green? Explique.
Res.: Não viola

Passo 1

O enunciado define o campo vetorial
M(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\quad N(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}
e pede:
(a) verificar que em D anelar (entre os círculos de raios 1 e 2, com contorno externo no sentido anti-horário e interno no sentido horário) vale
\int_{\gamma}M\,dx+N\,dy \;=\;\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\Bigr)\,dA.
(b) mostrar que no disco interior ao círculo de raio 1 essa igualdade falha.
(c) discutir se isso viola o teorema de Green.

Passo 2

Calculemos o “rotor” escalar do campo:
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{(x^{2}+y^{2})-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{-(x^{2}+y^{2})+2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
logo
\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{y^{2}-x^{2}-(-x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =0.

Passo 3

Para qualquer círculo de raio r>0 parametrizado por
x=r\cos t,\quad y=r\sin t,\quad t\in[0,2\pi],
temos
dx=-r\sin t\,dt,\quad dy=r\cos t\,dt,
e
M\,dx+N\,dy =\frac{-r\sin t}{r^{2}}(-r\sin t\,dt)+\frac{r\cos t}{r^{2}}(r\cos t\,dt) =\frac{r^{2}\sin^{2}t+r^{2}\cos^{2}t}{r^{2}}\,dt =dt.
Portanto, o integral ao longo do círculo x^{2}+y^{2}=r^{2} no sentido anti-horário é
\int_{0}^{2\pi}dt=2\pi.

Passo 4

(a) No anel entre r=1 e r=2, o contorno \gamma é a união do círculo externo (raio 2, sentido anti-horário) e do círculo interno (raio 1, sentido horário). Assim,
\int_{\gamma}M\,dx+N\,dy =\bigl(\text{externo}\bigr)+\bigl(\text{interno}\bigr) =2\pi \;+\;(-2\pi) =0.
Como o “rotor” é zero em toda D, o integrando duplo também é zero, e portanto
\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\Bigr)\,dA =0.
Logo a igualdade de Green vale em (a).

Passo 5

(b) Se D é o disco de raio 1, seu contorno \gamma é apenas o círculo x^{2}+y^{2}=1 orientado anti-horário. Pelo cálculo do passo 3,
\int_{\gamma}M\,dx+N\,dy =2\pi,
enquanto
\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\Bigr)\,dA =0.
Portanto
\int_{\gamma}M\,dx+N\,dy \neq \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 6

(c) Isso não viola o teorema de Green, pois uma das hipóteses do teorema exige que M e N sejam continuamente diferenciáveis em uma região que contenha D e sua borda. Aqui o campo tem singularidade em (0,0), interior ao disco de raio 1, portanto a condição de regularidade falha e o teorema não se aplica.

Resposta

(a) A igualdade vale porque o rotor é zero e os contornos externo e interno contribuem com +2\pi e -2\pi, totalizando 0.
(b) No disco de raio 1 o integral de linha dá 2\pi enquanto o integral duplo dá 0, logo não coincidem.
(c) Não viola o teorema de Green, pois o campo não é C^{1} em todo o disco (singular em (0,0)).

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