Determine o domínio das funções vetoriais:
\vec{r}=\sin t \vec{i}+\sqrt{e^{t}} \vec{j}+\operatorname{sec} t \vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função vetorial
\vec r(t) = \sin t\,\vec i \;+\;\sqrt{e^t}\,\vec j\;+\;\operatorname{sec} t\,\vec k.
Para encontrar o domínio, precisamos achar todos os t\in\mathbb{R} tais que cada componente de \vec r(t) esteja bem definida.

Passo 2

A componente \sin t é uma função trigonométrica definida para todo t\in\mathbb{R}. Logo, não impõe restrição ao domínio.

Passo 3

A componente \sqrt{e^t} requer que o argumento dentro da raiz seja não negativo. Como
e^t > 0\quad\forall\,t\in\mathbb{R},
essa parte também não impõe restrição: está definida para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 4

A componente \operatorname{sec} t é dada por 1/\cos t, logo exige que \cos t \neq 0. Sabemos que
\cos t = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad t = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Portanto, \operatorname{sec} t só está definida quando t \neq \frac{\pi}{2} + k\pi.

Passo 5

O domínio da função vetorial é a interseção dos domínios de cada componente. Como as duas primeiras componentes admitem todo \mathbb{R} e a terceira exclui t = \frac{\pi}{2} + k\pi, temos
\Dom(\vec r) = \bigl\{\,t\in\mathbb{R}\mid \cos t \neq 0\bigr\} = \mathbb{R}\setminus\Bigl\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\Bigr\}.

Resposta

\Dom(\vec r) = \bigl\{\,t\in\mathbb{R}\mid \cos t\neq 0\bigr\} = \mathbb{R}\setminus\Bigl\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi\;\bigm|\;k\in\mathbb{Z}\Bigr\}.

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