Assuma que
é a dimensão de um espaço vetorial
. Determine os valores de
para que a integral imprópria
a).
divirga.
b).
convirga.
Agora, utilizando os itens (
) e (
) conclua para que valores de
a função
está bem definida no espaço
, de modo que
a).
b).
Passo 1
O enunciado pede para estudar as seguintes integrais impróprias, em função de
e de um inteiro
:
O objetivo é usar o teste da integral-poderes (power test) para determinar quando cada uma diverge ou converge, e daí achar para quais
a função
está bem definida (isto é, a parte em
converge) e ainda satisfaz
.
Passo 2
Simplificamos o integrando:
Defina o expoente
Passo 3
Para
usamos que converge se
e diverge se
.
Então a integral diverge exatamente quando
Então a integral diverge exatamente quando
Passo 4
Para
a convergência exige
.
Logo converge quando
Logo converge quando
Passo 5
Para que
seja bem definida precisamos que a parte de
até
convirja (isto exige
). Para que
precisamos que a parte de
a
diverja (isto exige
). A interseção dessas condições, com
, é
Resposta
A condição final é