Assuma que N é a dimensão de um espaço vetorial X. Determine os valores de p>0 para que a integral imprópria
a). \int_{1}^{\infty} \frac{s^{\frac{1}{p}}}{s^{1+\frac{1}{N}}} d s divirga.
b). \int_{0}^{1} \frac{s^{\frac{1}{p}}}{s^{1+\frac{1}{N}}} d s convirga.
Agora, utilizando os itens ( a ) e ( b ) conclua para que valores de p>0 a função
f_{p}(t)=\int_{0}^{t} \frac{s^{\frac{1}{p}}}{s^{1+\frac{1}{N}}} d s, t>0
está bem definida no espaço X, de modo que
\lim _{t \rightarrow+\infty} f_{p}(t)=+\infty

Passo 1

O enunciado pede para estudar as seguintes integrais impróprias, em função de p>0 e de um inteiro N\ge1:
\int_{1}^{\infty}\frac{s^{\frac1p}}{s^{1+\frac1N}}\,ds \quad\text{e}\quad \int_{0}^{1}\frac{s^{\frac1p}}{s^{1+\frac1N}}\,ds.
O objetivo é usar o teste da integral-poderes (power test) para determinar quando cada uma diverge ou converge, e daí achar para quais p a função
f_{p}(t)=\int_{0}^{t}\frac{s^{\frac1p}}{s^{1+\frac1N}}\,ds
está bem definida (isto é, a parte em 0 converge) e ainda satisfaz \lim_{t\to+\infty}f_{p}(t)=+\infty.

Passo 2

Simplificamos o integrando:
\frac{s^{\frac1p}}{s^{1+\frac1N}} =s^{\frac1p-1-\frac1N}.
Defina o expoente
\alpha=\frac1p-1-\frac1N.

Passo 3

Para \displaystyle\int_{1}^{\infty}s^{\alpha}ds usamos que converge se \alpha<-1 e diverge se \alpha\ge-1.
Então a integral diverge exatamente quando
\alpha\ge -1 \;\Longleftrightarrow\; \frac1p-1-\frac1N\ge -1 \;\Longleftrightarrow\; \frac1p-\frac1N\ge0 \;\Longleftrightarrow\; \frac1p\ge\frac1N \;\Longleftrightarrow\; p\le N.

Passo 4

Para \displaystyle\int_{0}^{1}s^{\alpha}ds a convergência exige \alpha>-1.
Logo converge quando
\alpha>-1 \;\Longleftrightarrow\; \frac1p-1-\frac1N>-1 \;\Longleftrightarrow\; \frac1p-\frac1N>0 \;\Longleftrightarrow\; \frac1p>\frac1N \;\Longleftrightarrow\; p<N.

Passo 5

Para que f_{p}(t) seja bem definida precisamos que a parte de 0 até 1 convirja (isto exige p<N). Para que \lim_{t\to\infty}f_{p}(t)=+\infty precisamos que a parte de 1 a \infty diverja (isto exige p\le N). A interseção dessas condições, com p>0, é
0<p<N.

Resposta

A condição final é
0<p<N.

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