Resolva as seguintes integrais:
\int\left(t^{2}+3\right) e^{-2 t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada
\int (t^{2}+3)\,e^{-2t}\,dt.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, já que temos um polinômio em t multiplicando uma exponencial.

Passo 2

Vamos separar a integral em duas partes mais simples:
\int (t^{2}+3)\,e^{-2t}\,dt = \int t^{2}\,e^{-2t}\,dt \;+\; 3\int e^{-2t}\,dt.

Passo 3

Calculando a parte mais fácil, a integral da exponencial:
\int e^{-2t}\,dt = -\tfrac12\,e^{-2t}.

Passo 4

Agora usamos integração por partes em \displaystyle \int t^{2}\,e^{-2t}\,dt. Escolhemos
u = t^{2},\quad dv = e^{-2t}\,dt
então
du = 2t\,dt,\quad v = \int e^{-2t}\,dt = -\tfrac12\,e^{-2t}.
Pela fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du, temos
\int t^{2}e^{-2t}\,dt = -\tfrac12\,t^{2}e^{-2t} \;-\;\int\bigl(-\tfrac12\,e^{-2t}\bigr)\,2t\,dt = -\tfrac12\,t^{2}e^{-2t} \;+\;\int t\,e^{-2t}\,dt.

Passo 5

Ainda falta \displaystyle \int t\,e^{-2t}\,dt. De novo, integração por partes com
u = t,\quad dv = e^{-2t}\,dt
então
du = dt,\quad v = -\tfrac12\,e^{-2t}.
Logo
\int t\,e^{-2t}\,dt = -\tfrac12\,t\,e^{-2t} \;-\;\int\bigl(-\tfrac12\,e^{-2t}\bigr)\,dt = -\tfrac12\,t\,e^{-2t} \;-\;\bigl(-\tfrac14\,e^{-2t}\bigr) = -\tfrac12\,t\,e^{-2t} \;-\;\tfrac14\,e^{-2t}.

Passo 6

Substituindo este resultado em \int t^{2}e^{-2t}\,dt, obtemos
\int t^{2}e^{-2t}\,dt = -\tfrac12\,t^{2}e^{-2t} \;+\;\Bigl(-\tfrac12\,t\,e^{-2t} -\tfrac14\,e^{-2t}\Bigr) = -\frac{2t^{2}+2t+1}{4}\,e^{-2t}.
Voltando à integral original:
\int (t^{2}+3)e^{-2t}\,dt = -\frac{2t^{2}+2t+1}{4}\,e^{-2t} \;+\;3\Bigl(-\tfrac12\,e^{-2t}\Bigr) + C = -\frac{2t^{2}+2t+1+6}{4}\,e^{-2t} + C = -\frac{2t^{2}+2t+7}{4}\,e^{-2t} + C.

Resposta

\boxed{ \int (t^{2}+3)e^{-2t}\,dt = -\frac{2t^{2}+2t+7}{4}\,e^{-2t} + C. }

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