Calcule as integrais:
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2 x d x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2x}{(x^2+1)^2}\,dx.
O conteúdo envolve integrais de funções racionais e o uso de simetria (paridade) para integrais definidas em intervalos simétricos.

Passo 2

Observamos a paridade da função integranda. Defina
f(x)=\frac{2x}{(x^2+1)^2}.
Para todo x vale
f(-x)=\frac{2(-x)}{((-x)^2+1)^2}=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}=-f(x),
logo f é função ímpar.

Passo 3

Uma propriedade clássica de integrais impróprias diz que, se f é ímpar e a integral converge, então
\int_{-A}^{A}f(x)\,dx=0
para todo A>0. Tomando o limite A\to+\infty, conclui-se
\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=0.

Passo 4

Para confirmar, podemos calcular a primitiva de forma direta. Faça a substituição
u=x^2+1,\quad du=2x\,dx,
o que leva a
\int \frac{2x}{(x^2+1)^2}\,dx =\int \frac{du}{u^2} =-\frac{1}{u}+C =-\frac{1}{x^2+1}+C.
Então
\int_{-R}^{R}\frac{2x}{(x^2+1)^2}\,dx =\Bigl[-\frac{1}{x^2+1}\Bigr]_{-R}^{R} =-\frac{1}{R^2+1}-\bigl(-\frac{1}{R^2+1}\bigr)=0.
Fazendo R\to+\infty mantém o valor 0.

Resposta

0

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