Assuma que a distribuição das notas de uma turma grande no Google Sala de Aula possa ser modelada por uma variável aleatória contínua X com a seguinte função densidade de probabilidade:
fX(x)=cc k x^5(100-x)100^7 & , 0, & se 0 <= x <= 100, 0 & caso contrário, á
onde k é uma constante positiva.
Determine o valor da constante k tal que fX seja, de fato, uma função densidade de probabilidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a distribuição das notas de uma turma grande no Google Sala de Aula, que é modelada por uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função densidade de probabilidade dada. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da constante $ k $ que faz com que essa função seja, de fato, uma função densidade de probabilidade válida.
Para isso, vamos precisar entender que, para uma função ser uma densidade de probabilidade, a integral dela em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Aqui, vamos usar cálculo integral para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função densidade de probabilidade $ f_X(x) $:
fX(x) á
Queremos que a integral dessa função de $ x = 0 $ até $ x = 100 $ seja igual a 1:
fX(x) = k x^5(100 - x)100^7 & se 0 <= x <= 100, 0 & caso contrário

Passo 3

Substituindo $ f_X(x) $ na integral, temos:
fX(x)
Vamos fatorar a constante $ \frac{k}{100^{7}} $ para facilitar a integração:
integral0^100 k x^5(100 - x)100^7 , dx = 1

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral $ \int_{0}^{100} x^{5}(100 - x) , dx $. Primeiro, distribuímos $ x^{5} $ dentro do parêntese:
integral0^100 x^5(100 - x) , dx

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Para $ 100 \int_{0}^{100} x^{5} , dx $:
100 integral0^100 x^5 , dx
  1. Para $ \int_{0}^{100} x^{6} , dx $:
100 [ x^66 ]0^100 = 100 ( 100^66 - 0 ) = 100^76

Passo 6

Substituindo esses resultados de volta na integração original:
integral0^100 x^5(100 - x) , dx = 100^76 - 100^77 = 100^7 ( 16 - 17 )
Calculando a diferença das frações:
16 - 17 = 7 - 642 = 142
Então:
integral0^100 x^5(100 - x) , dx = 100^7 cdot 142 = 100^742

Passo 7

Voltando à equação original:
k100^7 cdot 100^742 = 1
Os $ 100^{7} $ se cancelam:
100^7

Resposta

Portanto, o valor da constante $ k $ é 42.

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