Dizemos que uma variável aleatória contínua X tem distribuição Beta de parâmetros alpha e beta se e somente se sua densidade é dada por
fX(x)=cl Gamma(alpha+beta)Gamma(alpha) Gamma(beta) x^alpha-1(1-x)^beta-1 & , se 0á
onde Gamma(k)=(k-1) ! quando k é um número inteiro. Suponha X uma variável aleatória com distribuição Beta de parâmetros alpha=1 e beta=3.
A v.a. Y também tem distribuição Beta? Caso afirmativo, com quais parâmetros?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre a distribuição Beta, que é uma distribuição de probabilidade contínua definida no intervalo entre 0 e 1. Ela depende de dois parâmetros, alpha e beta, que moldam a forma da distribuição. Aqui, temos uma variável aleatória X que segue uma distribuição Beta com alpha = 1 e beta = 3. A pergunta é: será que a variável aleatória Y também segue uma distribuição Beta? Se sim, quais seriam os parâmetros dessa distribuição?

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a função de densidade da distribuição Beta:
fX(x) = cl Gamma(alpha+beta)Gamma(alpha) Gamma(beta) x^alpha-1(1-x)^beta-1 & , se 0 < x < 1 0 & , caso contrário á
Aqui, Gamma(k) é a função gama, que generaliza o fatorial para números reais. Quando k é inteiro, Gamma(k) = (k-1)!

Passo 3

Como X segue a distribuição Beta com alpha = 1 e beta = 3, sua função de densidade fica:
fX(x) = Gamma(1+3)Gamma(1) Gamma(3) x^1-1(1-x)^3-1 = Gamma(4)Gamma(1) Gamma(3) (1-x)^2
Sabemos que Gamma(4) = 3! = 6, Gamma(1) = 0! = 1 e Gamma(3) = 2! = 2, então:
fX(x) = 61 times 2 (1-x)^2 = 3(1-x)^2

Passo 4

Agora, para saber se Y também segue uma distribuição Beta, precisamos saber como Y está relacionada a X. Como o enunciado não especifica essa relação, vamos assumir que Y é uma transformação de X. Uma transformação comum é Y = 1 - X.

Passo 5

Vamos verificar se Y = 1 - X segue uma distribuição Beta. Primeiro, encontramos a função de densidade de Y.
Sabemos que se Y = g(X), onde g é uma função monotônica, a densidade de Y é dada por:
fY(y) = fX(g^-1(y)) | ddy g^-1(y) |
Aqui, g^-1(y) = 1 - y, então:
fY(y) = fX(1 - y) times 1 = 3(1 - (1 - y))^2 = 3y^2

Passo 6

Vamos comparar isso com a função de densidade da distribuição Beta. Para Y seguir uma distribuição Beta, devemos ter:
fY(y) = Gamma(alpha' + beta')Gamma(alpha') Gamma(beta') y^alpha' - 1 (1 - y)^beta' - 1
Comparando com fY(y) = 3y^2, percebemos que:
  • O termo y^alpha' - 1 corresponde a y^2, então alpha' - 1 = 2 Rightarrow alpha' = 3
  • O termo (1 - y)^beta' - 1 corresponde a (1 - y)^0 = 1, então beta' - 1 = 0 Rightarrow beta' = 1
Também, a constante 3 deve ser igual a:
Gamma(3 + 1)Gamma(3) Gamma(1) = Gamma(4)Gamma(3) Gamma(1) = 62 times 1 = 3

Resposta

Sim, a variável aleatória Y também tem distribuição Beta, com parâmetros alpha' = 3 e beta' = 1.

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