Dizemos que uma variável aleatória contínua tem distribuição Beta de parâmetros e se e somente se sua densidade é dada por
onde ! quando é um número inteiro. Suponha uma variável aleatória com distribuição Beta de parâmetros e .
A v.a. também tem distribuição Beta? Caso afirmativo, com quais parâmetros?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre a distribuição Beta, que é uma distribuição de probabilidade contínua definida no intervalo entre 0 e 1. Ela depende de dois parâmetros, e , que moldam a forma da distribuição. Aqui, temos uma variável aleatória que segue uma distribuição Beta com e . A pergunta é: será que a variável aleatória também segue uma distribuição Beta? Se sim, quais seriam os parâmetros dessa distribuição?
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a função de densidade da distribuição Beta:
Aqui, é a função gama, que generaliza o fatorial para números reais. Quando é inteiro,
Passo 3
Como segue a distribuição Beta com e , sua função de densidade fica:
Sabemos que , e , então:
Passo 4
Agora, para saber se também segue uma distribuição Beta, precisamos saber como está relacionada a . Como o enunciado não especifica essa relação, vamos assumir que é uma transformação de . Uma transformação comum é .
Passo 5
Vamos verificar se segue uma distribuição Beta. Primeiro, encontramos a função de densidade de .
Sabemos que se , onde é uma função monotônica, a densidade de é dada por: