Assuma que a distribuição das notas de uma turma grande no Google Sala de Aula possa ser modelada por uma variável aleatória contínua X com a seguinte função densidade de probabilidade:
fX(x)=cc k x^5(100-x)100^7 & , 0, & se 0 <= x <= 100, 0 & caso contrário, á
onde k é uma constante positiva.
Qual a probabilidade de sortear um aluno que passou direto, ou seja, com nota maior ou igual a 70 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a distribuição das notas de uma turma grande no Google Sala de Aula, que pode ser modelada por uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função densidade de probabilidade específica. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de sortear um aluno que passou direto, ou seja, com nota maior ou igual a 70. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade contínua e integrais para calcular essa probabilidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a constante $ k $ na função densidade de probabilidade $ f_X(x) $. Lembre-se que a integral de toda a função densidade de probabilidade deve ser igual a 1, pois representa a totalidade das probabilidades possíveis.

Passo 3

Vamos calcular a integral de $ f_X(x) $ de 0 a 100:
fX(x)
Para resolver essa integral, podemos separar e calcular cada parte:
integral0^100 k x^5(100 - x)100^7 , dx = 1
Calculando cada integral:
integral0^100 x^5(100 - x) , dx = integral0^100 100x^5 , dx - integral0^100 x^6 , dx
integral0^100 100x^5 , dx = 100 cdot 100^66 = 100^76
Subtraindo as duas:
integral0^100 x^6 , dx = 100^77
Então, substituindo de volta na equação original:
100^76 - 100^77 = 100^7 ( 16 - 17 ) = 100^7 cdot 142

Passo 4

Agora que encontramos $ k = 42 $, podemos calcular a probabilidade de um aluno ter nota maior ou igual a 70. Isso significa calcular a integral de $ f_X(x) $ de 70 a 100:
k = 42
Vamos resolver essa integral da mesma forma:
fX(x)
Calculando cada parte:
P(X >= 70) = integral70^100 42 x^5(100 - x)100^7 , dx
integral70^100 x^5(100 - x) , dx = integral70^100 100x^5 , dx - integral70^100 x^6 , dx
Subtraindo:
integral70^100 100x^5 , dx = 100 cdot 100^6 - 70^66
Fazendo os cálculos numéricos:
integral70^100 x^6 , dx = 100^7 - 70^77

Resposta

A probabilidade de sortear um aluno que passou direto, com nota maior ou igual a 70, é aproximadamente 67,07%.

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