Um notebook de melhor qualidade que o abordado nos slides da aula possui tempo médio de duração da bateria igual a 4 horas. Seja X a v.a. que expressa o tempo (em horas) de duração da bateria deste notebook, cuja função densidade de probabildade é dada abaixo.
fX(x)=cc 14 e^-x / 4 & , se x >= 0 0, & se x<0
Obtenha a probabilidade da bateria deste modelo de notebook durar além das 4 horas esperadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a duração da bateria de um notebook de melhor qualidade. A gente tem uma variável aleatória $ X $ que representa quanto tempo (em horas) a bateria dura. A função densidade de probabilidade de $ X $ é dada, e a gente precisa encontrar a probabilidade de a bateria durar mais de 4 horas. Vamos usar conceitos de Distribuição Exponencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função densidade de probabilidade fornecida:
fX(x) = 14 e^-x / 4 & se x >= 0 0 & se x < 0
Essa é a forma da Distribuição Exponencial, onde o parâmetro $ \lambda $ é $ \frac{1}{4} $. Na distribuição exponencial, a média é igual a $ \frac{1}{\lambda} $, que nesse caso é 4 horas, como mencionado no enunciado.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de $ X $ ser maior que 4 horas, ou seja, $ P(X > 4) $. Para a distribuição exponencial, existe uma fórmula direta para isso:
X
Onde $ t $ é o tempo que queremos analisar, que aqui é 4 horas.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
  • $ \lambda = \frac{1}{4} $
  • $ t = 4 $
Então:
lambda = 14
E calculando $ e^{-1} $:
t = 4

Resposta

A probabilidade da bateria durar além das 4 horas é aproximadamente 0,3679 ou 36,79%.

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